Surface de Gauss

En électromagnétisme, une surface de Gauss est une surface imaginaire de l'espace utilisée dans le calcul des champs électriques par le théorème de Gauss. Puisque le théorème de Gauss peut être utilisé dans le cas de certaines symétries particulières du champ électrique, on distingue principalement trois classes de surfaces de Gauss.

Sphère de Gauss

Utilisée pour des objets chargés de symétrie sphérique.

Cylindre de Gauss

Utilisé pour trouver le champ à une certaine distance d'un fil électrique chargé.

Boîte à pilules de Gauss

Elle est de forme cylindrique, mais elle s'emploie dans des contextes différents du cylindre de Gauss. On l'utilise principalement pour le champ à une certaine distance d'un plan chargé infini.

Exemple d'utilisation

Trouvons le champ créé à proximité d'un plan infini portant une densité de charge surfacique ρ_v.

Démonstrations

On choisi la boîte à pilule de Gauss de manière à ce que ses bouts soient parallèles au plan infini et qu'elle comprenne une section A du plan à mi-hauteur. Selon le théorème de Gauss,

$\int\!\!\!\!\int_S \vec E \cdot d \vec S = \frac{Q_{int}}{\varepsilon_0}$

où S est l'aire de la surface de Gauss et Q_int, la charge à l'intérieur. Celle-ci est donnée par Q_int = ρ_vA. L'intégrale de surface de gauche est séparée, car on doit intégrer sur trois surfaces différentes.

$\int\!\!\!\!\int_{SurfaceCourbe} \vec E \cdot d \vec S + \int\!\!\!\!\int_{Bout1} \vec E \cdot d \vec S + \int\!\!\!\!\int_{Bout2} \vec E \cdot d \vec S = \frac{\rho_v A}{\varepsilon_0}$

Par symétrie, l'intégrale est la même sur les deux bouts et elle vaut zéro sur la surface courbe, car le champ est parallèle à cette surface et ne crée donc pas de flux électrique. Perpendiculaire au plan, le champ est aussi parallèle à $d \vec S$ par définition de celui-ci. Le produit scalaire devient un produit usuel. On a maintenant

$2 \int\!\!\!\!\int_{Bout} E dS = \frac{\rho_v A}{\varepsilon_0}$.

Le champ étant constant sur les bouts, on le sort de l'intégrale. Connaissant la surface A du plan dans la boîte à pilules de Gauss, on a enfin

$2 E A = \frac{\rho_v A}{\varepsilon_0}$

$E = \frac{\rho_v}{2 \varepsilon_0}$.

Ici, la boîte à pilules de Gauss est particulièrement utile, car le calcul des intégrales est très largement simplifié. Dans chaque problème, il faut savoir utiliser la bonne surface de Gauss.