Somme connexe


Somme connexe
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En mathématiques, et plus précisément en topologie, la somme connexe est une opération qui s'effectue sur des variétés connexes de même dimension.

Définition

Illustration de la somme connexe.

La somme connexe de deux variétés connexes de même dimension n est obtenue en retirant à chacune un petit voisinage d'un point formée d'une boule ouverte, et en recollant les deux variétés ainsi obtenues (techniquement, en prenant l'espace quotient de leur union disjointe) le long des deux sphères Sn apparues. Le résultat est une variété de dimension n, bien définie à homéomorphisme près, et connexe (sauf dans le cas où les deux variétés initiales sont homéomorphes à des droites réelles).

En dimension 2 par exemple, la somme connexe de deux surfaces abstraites est obtenue par découpage d'un disque sur chacune et recollement le long des deux bords circulaires obtenus.

L'opération de somme connexe est notée par \#; par exemple A \# B désigne la somme connexe de A et B.

L'opération de somme connexe a la sphère Sm comme élément neutre.

La classification des surfaces fermées, un résultat fondamental et historiquement marquant en topologie, indique que toute surface fermée peut être exprimée comme la somme connexe d'une sphère avec un nombre g de tores et un nombre k de plans projectifs réels.

Exemples

La somme connexe de deux tores est un tore à deux anses.

La somme connexe de deux espaces projectifs réels de dimension 2 forme une bouteille de Klein.

La somme connexe de deux cercles étant un cercle, cette notion n'est pas adaptée à l'étude des nœuds. Mais, en théorie des nœuds, il existe une somme analogue, la composition de nœuds (en), qui définit une structure de monoïde commutatif sur l'ensemble des nœuds.

Propriétés

Hormis dans le cas où les deux variétés initiales sont homéomorphes à des droites réelles, la somme connexe de deux variétés est toujours connexe.

La somme connexe des variétés abstraites est une opération associative et commutative, donnant à l'ensemble des variétés une structure de monoïde commutatif.

La somme connexe de deux variétés est orientable si et seulement si les deux variétés de départ sont orientables.


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