Représentation conjuguée

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En algèbre, si ρ est une représentation de groupe ou une représentation d'algèbre de Lie sur un espace vectoriel complexe V, on définit sa représentation conjuguée ρ sur le conjugué V de V.

• Si ρ est une représentation d'un groupe G, alors ρ est la représentation de G définie par : pour tout élément g de G, ρ(g) est l'application linéaire conjuguée de ρ(g). Pour une représentation unitaire (en), la représentation conjuguée est équivalente à la représentation duale.
• De même, si ρ est une représentation d'une algèbre de Lie réelle $\mathfrak g$, alors ρ est la représentation de $\mathfrak g$ définie par : pour tout élément u de $\mathfrak g$, ρ(u) est l'application linéaire conjuguée de ρ(u)^[1]. Si $\mathfrak{g}$ est une algèbre de Lie (complexe) involutive (i.e. munie d'une involution * compatible avec le crochet de Lie), alors pour tout élément u de $\mathfrak g$, ρ(u) est le conjugué de -ρ(u*).

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article en anglais intitulé « Complex conjugate representation » (voir la liste des auteurs)

1. ↑ C'est la convention des mathématiciens. Les physiciens, qui utilisent des conventions différentes dans lesquelles le crochet de Lie de deux vecteurs réels est un vecteur imaginaire pur, insèrent un signe « - » dans la définition.