Quaternions de Hurwitz


Quaternions de Hurwitz

Les quaternions de Hurwitz portent ce nom en l'honneur du mathématicien allemand Adolf Hurwitz.

Sommaire

Definition

Quaternions

Soit \mathbb{A} un anneau. On definit l'algèbre des quaternions \mathbb{H}(\mathbb{A}) comme le \mathbb{A}-module libre engendré par 1, i, j et k, muni de la structure d'algèbre :

  • 1 élément neutre pour la multiplication
  • i^2=j^2=k^2=-1\,
  • et les identités:
    • i=j\cdot k=-k\cdot j\,
    • j=k\cdot i=-i\cdot k\,
    • k=i\cdot j=-j\cdot i\,

Quaternions de Hurwitz

Soit \mathbb{H}(\mathbb{Z}), l'algèbre des quaternions sur l'anneau \mathbb{Z}. On définit les quaternions de Hurwitz Erreur math (La conversion en PNG a échoué ; vérifiez l’installation de latex et dvipng (ou dvips + gs + convert)): \tilde\mathbb{H}(\mathbb{Z})

comme suit :

Erreur math (La conversion en PNG a échoué ; vérifiez l’installation de latex et dvipng (ou dvips + gs + convert)): \tilde\mathbb{H}(\mathbb{Z})=\mathbb{H}(\mathbb{Z}) \cup \left ( \frac{1+i+j+k}{2}+ \mathbb{H}(\mathbb{Z}) \right)


Propriétés

Les quaternions de Hurwitz forment un anneau euclidien à gauche et à droite.

Un anneau commutatif intègre A est dit euclidien s'il est muni d'un "préstathme euclidien", c'est-à-dire d'une application v de A dans N vérifiant que pour deux éléments non nuls quelconques a, b de A tels que b ne divise pas a, il existe des éléments q, r de A tels que a=bq+r et v(r)<v(b), et cette définition se latéralise pour des anneaux non commutatifs[réf. souhaitée].


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Quaternions de Hurwitz de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Quaternions d'Hurwitz — Sommaire 1 Definition 1.1 Quaternions 1.2 Quaternions d Hurwitz 2 Propriétés // …   Wikipédia en Français

  • HURWITZ (A.) — HURWITZ ADOLF (1859 1919) Élève de Felix Klein, Adolf Hurwitz représentait une tendance unificatrice en mathématiques. Avec ses étudiants Hilbert et Minkowski, il s’éleva contre le partage abusif des mathématiques en de nombreuses branches, non… …   Encyclopédie Universelle

  • Hurwitz quaternion — In mathematics, a Hurwitz quaternion (or Hurwitz integer) is a quaternion whose components are either all integers or all half integers (a mixture of integers and half integers is not allowed). The set of all Hurwitz quaternions is:H =… …   Wikipedia

  • Hurwitz's theorem — In mathematics, Hurwitz s theorem is any of at least five different results named after Adolf Hurwitz. Hurwitz s theorem in complex analysis In complex analysis, Hurwitz s theorem roughly states that, under certain conditions, if a sequence of… …   Wikipedia

  • Adolf Hurwitz — Ne pas confondre avec le mathématicien polonais Witold Hurewicz. Adolf Hurwitz Adolf Hurwitz Naissance 26 mars 1859 Hildesheim (Royaume de Hanovre) Décès …   Wikipédia en Français

  • Groupe des quaternions — Graphe des cycles de Q. Chaque couleur précise une série de puissances d un élément quelconque connecté à l élément neutre (1). Par exemple, le cycle rouge reflète le fait que i 2 = 1, i 3 = i  et i 4 = 1. Le cycle rouge… …   Wikipédia en Français

  • Groupe De Quaternions — Diagramme du cycle de Q. Chaque couleur précise une série de puissances d un élément quelconque connecté à l élément neutre (1). Par exemple, le cycle rouge reflète le fait que i 2 = 1, i 3 = i  et i 4 = 1. Le cycle rouge… …   Wikipédia en Français

  • Groupe de quaternions — Diagramme du cycle de Q. Chaque couleur précise une série de puissances d un élément quelconque connecté à l élément neutre (1). Par exemple, le cycle rouge reflète le fait que i 2 = 1, i 3 = i  et i 4 = 1. Le cycle rouge… …   Wikipédia en Français

  • Théorème des quatre carrés de Lagrange — Le théorème des quatre carrés de Lagrange, est également connu sous le nom de conjecture de Bachet  ; il a été énoncé pour la première fois par Claude Gaspard Bachet de Méziriac en 1621, dans les notes accompagnant sa traduction en latin du… …   Wikipédia en Français

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français


Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.