Quadrilatère inscriptible

Quadrilatères inscriptibles

En géométrie, un quadrilatère inscriptible est un quadrilatère dont les sommets se trouvent tous sur un seul et même cercle. Les sommets sont dits cocycliques. Le cercle est dit circonscrit au quadrilatère.

Dans un quadrilatère inscriptible (non-croisé), les angles opposés sont supplémentaires^[1] (leur somme est π radians, soit 180 °). Ou de façon équivalente, chaque angle externe est égal à l'angle interne opposé. Cette propriété est en fait une variante du théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre.

Aire

L'aire d'un quadrilatère inscriptible en fonction de la longueur de ses côtés est donnée par la formule de Brahmagupta :

$Aire=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

où s, le demi-périmètre, vaut $s=\frac{a+b+c+d}{2}$.

Parmi tous les quadrilatères ayant la même séquence de longueurs des côtés, cette surface est maximale pour le quadrilatère inscriptible.

L'aire d'un quadrilatère inscriptible de longueurs de côtés successifs a, b, c, d et d'angle γ entre les côtés b et c est aussi donnée par la formule suivante :

$Aire=\tfrac{1}{2}(\sin \gamma)(bc+ad)$.

Diagonale

Le théorème de Ptolémée dit que le produit des longueurs des deux diagonales p et q d'un quadrilatère inscriptible est égal à la somme des produits des côtés opposés ac et bd :

pq = ac + bd.

Pour tout quadrilatère convexe, les deux diagonales du quadrilatère le coupent en quatre triangles; dans un quadrilatère inscriptible, les paires de triangles opposés sont constituées de triangles similaires l'un à l'autre.

Pour un quadrilatère inscriptible de sommets successifs A, B, C, D, de côtés successifs a = AB, b = BC, c = CD et d= DA, et de diagonales p=AC et q =BD, on a :

$\tfrac {p}{q}= \tfrac{ad+cb}{ab+cd},$

$p^{2}= \tfrac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd},$

et

$q^{2}= \tfrac{(ac+bd)(ab+dc)}{ad+bc}.$

Si l'intersection des diagonales divise une diagonale en segments de longueurs e et f, et divise l'autre diagonale en segments de longueurs g et h, alors ef=gh. (Ceci est valable parce que les deux diagonales sont des cordes d'un cercle.)

Cas particuliers

Tout carré, rectangle, ou trapèze isocèle est inscriptible. Un cerf-volant est inscriptible si et seulement s'il a deux angles droits.

Autres propriétés

Le rayon du cercle circonscrit d'un quadrilatère inscriptible dont les longueurs des côtés sont successifs a, b, c, d et de demi-périmètre s est donné par la formule^[2] :

$\tfrac{1}{4} \sqrt{\tfrac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}.$

Il n'existe pas de quadrilatères inscriptibles dont l'aire est rationnelle et dont les longueurs des côtés sont rationnelles, inégales et forment une progression arithmétique ou géométrique^[3].

Pour un quadrilatère inscriptible de longueurs de côtés successifs a, b, c, d, de demi-perimètre s, et d'angle A entre les côtés a et d, les fonctions trigonométriques de A sont données par^[4] :

$\cos A = \frac{a^2 + d^2 - b^2 - c^2}{2(ad + bc)};$

$\sin^2 A = \frac{4(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}{(ad+bc)^2};$

$\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-d)}{(s-b)(s-c)}}.$

Quatre droites, chacune perpendiculaire à un côté d'un quadrilatère inscriptible et passant par le milieu du côté opposé, sont concourantes^{[5]p. 131}

Propriétés des quadrilatères inscriptibles qui sont également orthodiagonaux

Le théorème de Brahmagupta dit que, pour un quadrilatère inscriptible qui est également orthodiagonal (c'est-à-dire dont les diagonales sont perpendiculaires), la perpendiculaire à n'importe quel côté passant par le point d'intersection des diagonales divise l'autre côté en son milieu^{[5]p. 137}.

Si un quadrilatère inscriptible est également orthodiagonal, la distance du centre du cercle circonscrit à n'importe quel côté est égal à la moitié de la longueur du côté opposé^{[5]p. 138}.

Pour un quadrilatère inscriptible orthodiagonal, supposons que l'intersection des diagonales divise une diagonale en segments de longueurs p₁ et p₂ et divise l'autre diagonale en segments de longueurs q ₁ et q ₂ . Alors^[6]

p₁² + p₂² + q₁² + q₂² = a² + c² = b² + d² = D²

où D est le diamètre du cercle circonscrit. Ceci est dû au fait que les diagonales sont des cordes perpendiculaires d'un cercle. De façon équivalente, soit R=D/ 2 le rayon du cercle circonscrit, la moyenne de $p_1^2,$ $p_2^2,$ $q_1^2,$ et $q_2^2$ est R².

En outre, les équations a² + c² = b² + d² = D² impliquent que, dans un quadrilatère orthodiagonal inscriptible, la somme des carrés des côtés est égal à huit fois le carré du rayon du cercle circonscrit.

Voir aussi

• Cercle circonscrit
• Théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre
• Théorème de Ptolémée
• Théorème de Brahmagupta sur les diagonales perpendiculaires des quadrilatères inscriptibles
• Quadrilatère orthodiagonal
• Quadrilatère tangentiel, un quadrilatère dont tous les côtés sont tangents à un cercle unique
• Théorème japonais pour les quadrilatères inscriptibles

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Cyclic quadrilateral » (voir la liste des auteurs)

1. ↑ (en) Proposition 22 du livre III des Éléments d'Euclide
2. ↑ (en) Larry Hoehn, « Circumradius of a cyclic quadrilateral », dans Mathematical Gazette, n^o 84, mars 2000, p. 69-70 
3. ↑ (en) R. H. Buchholz et J. A. MacDougall, « Heron quadrilaterals with sides in arithmetic or geometric progression » dans Bull. Austral. Math. Soc. 59 (1999), 263-269 [lire en ligne]
4. ↑ (en) A. W. Siddons et R. T. Hughes, Trigonometry, Cambridge Univ. Press, 1929, p. 202
5. ↑ ^{a, b et c} (en) Altshiller-Court, College Geometry, Dover Publ., 2007
6. ↑ (en) Alfred S. Posamentier et Charles T. Salkind, Challenging Problems in Geometry, Dover Publ., second edition, 1996, p. 104–105, #4–23

Liens externes

• (en) Derivation of Formula for the Area of Cyclic Quadrilateral sur mathalino.com
• (en) Incenters in Cyclic Quadrilateral sur cut-the-knot
• (en) Four Concurrent Lines in a Cyclic Quadrilateral sur cut-the-knot
• (en) Eric W. Weisstein, « Cyclic quadrilateral », MathWorld