Problème des marchands de glaces

Le problème des marchands de glace est un exemple célèbre de la théorie des jeux. Dans ce jeu, comme dans bien d'autres, il est fait l'hypothèse que chaque joueur, qui sont ici deux marchands de glace, essaye de maximiser ses propres bénéfices.

Énoncé

Deux marchands de glace doivent choisir un emplacement sur une plage où les clients sont répartis uniformément. On suppose les prix et produits des marchands identiques, de sorte que chaque client se dirigera systématiquement vers le marchand le plus proche. La question est double. D'une part, il s'agit de déterminer la position d'équilibre de ce jeu, c'est-à-dire la façon dont les marchands vont se placer sur la plage, en supposant que chacun ne cherche qu'à maximiser ses bénéfices. D'autre part, il s'agit d'analyser l'optimalité de cet équilibre, du point de vue des marchands et des clients.

Équilibre

Lorsque les deux marchands sont installés, ils se partagent naturellement la plage en deux zones : la zone d'un marchand est l'ensemble des points de la plage qui sont plus près de lui que de l'autre marchand (notion de diagramme de Voronoï). Il n'est pas difficile de voir que ces zones correspondent à un découpage de la plage par la médiatrice du segment reliant les deux marchands (schéma ci-dessous, à gauche — la médiatrice étant la ligne verticale noire).

Si un des deux marchands a une zone plus petite que l'autre (c'est le cas s'il est plus loin du centre de la plage), il peut accroître sa zone en se déplaçant (schéma ci-dessous, à droite). Il n'y a donc pas équilibre.

Il ne peut donc y avoir équilibre que si les deux zones ont la même taille, c'est-à-dire si les marchands sont tous deux de part et d'autre du milieu de la plage, à égale distance (ci-dessous, gauche). Mais, si l'un des marchands se rapproche alors du milieu de la plage (ci-dessous, droite, le vendeur bleu se déplace vers la gauche), il accroîtra sa zone au détriment de l'autre, qui devra aussi se rapprocher du milieu de la plage pour conserver « sa » moitié de plage.

Du coup, les deux marchands se rapprochent spontanément du milieu de la plage, jusqu'à s'y trouver tous les deux (ci-dessous, gauche). Il y a alors équilibre : chaque marchand a une moitié de plage, et s'il se déplace légèrement d'un côté ou de l'autre, il verra sa zone décroître au profit de son concurrent (ci-dessous, droite, le vendeur rouge se déplace vers la gauche). C'est l'équilibre de Nash de ce jeu.

Optimalité

Si l'on suppose que les clients se déplaceront toujours vers le plus proche marchand, quelle que soit sa position, alors le jeu est à somme nulle : la somme des gains des marchands sera la même dans tous les cas.

Cependant, ce jeu produit des externalités : les clients ne sont pas indifférents à la position des marchands, puisqu'ils devront marcher en conséquence. En particulier, la position d'équilibre, avec les deux marchands au centre de la plage, est loin d'être idéale : certains clients doivent traverser la moitié de la plage pour acheter leur glace.

Une répartition bien meilleure des vendeurs serait d'en avoir un au milieu de chaque moitié de la plage (deuxième des trois schémas ci-dessus, gauche). Dans ce cas, non seulement chaque vendeur aurait encore une zone égale à la moitié de la plage, mais les clients ne devraient traverser qu'au plus le quart de la plage pour acheter leur glace. Il ne s'agit cependant pas d'un équilibre.

Ainsi, du point de vue des clients, l'équilibre de ce jeu n'est pas optimal. Il est possible de rendre cet équilibre non-optimal pour les marchands aussi : il suffit de supposer qu'un client préfère renoncer à sa glace que de traverser plus du tiers de la plage. Dans ce cas encore, l'équilibre est le même (marchands au milieu de la plage), mais les marchands ne vendent des glaces qu'aux deux tiers des clients potentiels (alors qu'ils en vendraient à tous les clients en étant placés au milieu de chaque moitié de la plage).

Moralité

Le problème des marchands de glace constitue un exemple typique d'équilibre non-optimal, souvent évoqué pour montrer que, contrairement à la théorie de la main invisible attribuée à Adam Smith, si chaque acteur économique raisonne individuellement selon son intérêt (aller vers le milieu de la plage), alors il peut en résulter une situation pire que si les acteurs se concertaient (se placer au milieu de chaque moitié).

Articles connexes

• Dilemme du prisonnier
• Théorie des jeux
• Théorie de la main invisible (attribuée à Adam Smith)
• L'équilibre de Nash ou équilibre stable au sens de John Forbes Nash
• La définition d'une stratégie évolutionnairement stable dans le cadre d'un jeu répété
• Autorégulation