Nombre de Proth

En théorie des nombres, un nombre de Proth est un nombre de la forme

$P=k\, 2^n+1$

où k est un nombre impair, n un entier positif, et 2ⁿ > k. Les nombres de Proth sont nommés ainsi d'après le mathématicien François Proth (en).

Si un nombre de Proth est premier il est appelé nombre premier de Proth. Le théorème de Proth peut être utilisé comme test de primalité sur un nombre de Proth donné P : il stipule que s'il existe un entier a tel que

$a^{(P-1)/2}\equiv -1 \pmod P$

alors P est premier.

Exemples

Les sept premiers nombres de Proth (suite A080075 de l’OEIS) sont :

P₀ = 2¹ + 1 = 3

P₁ = 2² + 1 = 5

P₂ = 2³ + 1 = 9

P₃ = 3 × 2² + 1 = 13

P₄ = 2⁴ + 1 = 17

P₅ = 3 × 2³ + 1 = 25

P₆ = 2⁵ + 1 = 33

Les vingt premiers nombres premiers de Proth (suite A080076 de l’OEIS) sont :

3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153, 1217, 1409.

Voir aussi

• Nombre de Sierpinski
• Nombre de Cullen
• Nombre de Fermat

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Proth numbers », MathWorld