Morrie's law


Morrie's law

La Morrie's law (de l'anglais, littéralement « loi de Morrie ») est l'identité trigonométrique suivante :

cosinus de 20 degrés multiplié par cosinus de 40 degrés multiplié par cosinus de 80 degrés égale un huitième

Le nom de cette « curiosité » est dû au physicien Richard Feynman.

Sommaire

Histoire

Feynman avait l'habitude de nommer ainsi cette identité car c'est un de ses camarades, nommé Morrie Jacobs, qui la lui avait fait connaître durant sa scolarité ; il s'en est ensuite souvenu toute sa vie, de même que les circonstances dans lesquelles il en a appris l'existence (dans le magasin de cuir du père de Morrie)[Gleick 1].

Il y fait référence dans une lettre à Morrie datée du 27 janvier 1987[Gleick 2].

Généralisation

Il s'agit d'un cas particulier de l'identité plus générale[MAA 1] :

 2^n \cdot \prod_{k=0}^{n-1} \cos(2^k \alpha)=\frac{\sin(2^n \alpha)}{\sin(\alpha)}.

La curiosité tient au fait que dans ce cas particulier (avec n = 3 et α = 20°), le membre de droite vaut 1. En effet :


\begin{align}
2^n \alpha & = 180^\circ - \alpha \\
\sin(2^n \alpha) & = \sin(180^\circ - \alpha) \\
\sin(2^n \alpha) & = \sin(\alpha) \\
\frac{\sin(2^n \alpha)}{\sin(\alpha)} & = 1 \\
\end{align}

Il existe diverses autres généralisations de cette identité, citées notamment dans un livre de trigonométrie de 1930[MAA 2],[1].

Identités similaires pour les autres fonctions trigonométriques

Il existe une identité similaire pour la fonction sinus :

 \sin(20^\circ) \cdot \sin(40^\circ) \cdot \sin(80^\circ)=\frac{\sqrt 3\ }{8}.

Naturellement, en divisant l'identité pour la fonction sinus par celle pour la fonction cosinus, une troisième identité se dégage pour la fonction tangente :

 \tan(20^\circ) \cdot \tan(40^\circ) \cdot \tan(80^\circ)=\sqrt 3 = \tan(60^\circ). \,

Démonstration

En utilisant la formule de l'angle double pour la fonction sinus :

 \sin(2 \alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) \,

on trouve l'expression de cos(α) :

 \cos(\alpha)=\frac{\sin(2 \alpha)}{2 \sin(\alpha)}.

Il suit :


\begin{align}
\cos(2 \alpha) & = \frac{\sin(4 \alpha)}{2 \sin(2 \alpha)} \\[6pt]
\cos(4 \alpha) & = \frac{\sin(8 \alpha)}{2 \sin(4 \alpha)} \\
& {}\,\,\,  \vdots \\
\cos(2^{n-1} \alpha) & = \frac{\sin(2^{n} \alpha)}{2 \sin(2^{n-1} \alpha)}.
\end{align}

En multipliant toutes ces expressions les unes avec les autres, on obtient :

 \cos(\alpha) \cos(2 \alpha) \cos(4 \alpha) \cdots \cos(2^{n-1} \alpha)=
\frac{\sin(2 \alpha)}{2 \sin(\alpha)} \cdot \frac{\sin(4 \alpha)}{2 \sin(2 \alpha)} \cdot \frac{\sin(8 \alpha)}{2 \sin(4 \alpha)} \cdots \frac{\sin(2^{n} \alpha)}{2 \sin(2^{n-1} \alpha)}.

Dans la partie droite de l'expression, les numérateurs et dénominateurs intermédiaires s'annulent, ne laissant que le premier dénominateur (sin(α)) et le numérateur final (sin(2nα)), ainsi qu'une puissance de 2 au dénominateur (2n car il y a n termes) ; il vient alors :

 \prod_{k=0}^{n-1} \cos(2^k \alpha)=\frac{\sin(2^n \alpha)}{2^n \sin(\alpha)},

ce qui est équivalent à la généralisation de l'identité.

Références

  1. Gleick, op. cit., p. 47 : « If a boy named Morrie Jacobs told him that the cosine of 20 degrees multiplied by the cosine of 40 degrees multiplied by the cosine of 80 degrees equaled exactly one-eighth, he would remember that curiosity for the rest of his life, and he would remember that he was standing in Morrie's father's leather shop when he learned it. ».
  2. Gleick, op. cit., p. 450.
  1. (en) William A. Beyer, James D. Louck et Doron Zeilberger, « Math Bite: A Generalization of a Curiosity that Feynman Remembered All His Life », dans Mathematics Magazine, vol. 69, no 1, février 1996, p. 43–44 [lien DOI] .
  2. (en) Garry J. Tee, « Math Bite: Further Generalizations of a Curiosity that Feynman Remembered All His Life », dans Mathematics Magazine, vol. 72, no 1, février 1999, p. 44 [texte intégral] .
  • (en) Ernest C. Anderson, « Morrie's Law and Experimental Mathematics », dans Journal of Recreational Mathematics, no 29, 1998, p. 85–88 .
  • Autres références :
  1. (en) Clement V. Durell et Alan Robson, Advanced Trigonometry, George Bell & Sons, 1930, p. 225–226 .

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