Morphisme séparé


Morphisme séparé

En géométrie algébrique, les schémas ne sont généralement pas séparés pour la topologie de Zariski. La notion de schémas séparés, ou plus généralement de morphismes séparés pallie ce défaut et permet de transposer certaines propriétés d'unicité des espaces topologiques séparés vers les schémas séparés.

Dans la première édition des EGA, les schémas étaient appelés des préschémas et les schémas séparés des schémas. Cette convention a été abandonnée depuis.

Sommaire

Une caractérisation des espaces topologiques séparés

Soit X un espace topologique. Alors il est séparé si et seulement la diagonale \{ (x,x)\in X\times X\} de X\times X est fermée dans X\times X (ce dernier étant muni de la topologie produit). Ce qui rend un schéma non séparé pour sa topologie de Zariski est qu'en fait la topologie de Zariski sur X\times X n'est pas la topologie produit.

Définition

Soit X\to S un morphisme de schémas. Soient p, q: X\times_S X\to X les projections du produit fibré de X par lui-même sur ses composantes. Par la propriété universelle du produit, il existe un unique morphisme de S-schémas \Delta_{X/S} : X\to X\times_S X tel que p\circ \Delta_{X/S}={\rm Id}_X=q\circ \Delta_{X/S}. Ce morphisme est appelé le morphisme diagonal de X sur S. Son image est appelé la diagonale de X\times_S X.

Un morphisme séparé est un morphisme de schémas X\to S tel que la diagonale de X\to X\times_S X est une partie fermée.

On dit qu'un S-schéma X est séparé si son morphisme structural X\to S est séparé.

Un schéma séparé est un schéma X tel que le morphisme canonique X\to {\rm Spec}\mathbb Z est séparé.

Exemples

  • Tout schéma affine est séparé.
  • Le recollement de deux copies X1,X2 de la droite affine le long de l'ouvert X_i\setminus \{ 0 \} est un schéma non-séparé.

Propriétés

  • Les immersions fermées et les immersions ouvertes sont des morphismes séparés.
  • (changement de base) Si X\to S est séparé, alors pour tout T\to S, le changement de base X\times_S T\to T est séparé.
  • Le produit fibré X\times_S Y de S-schémas séparés est un S-schéma séparé.
  • La composition de morphismes séparés est séparé.
  • On a l'équivalence des propriétés (1) X est séparé; (2) Il existe un morphisme séparé X\to {\rm Spec}A vers un schéma affine; (3) tout morphisme X\to {\rm Spec}A est séparé.

Proposition Soient f,g : X\to Y des morphismes de schémas avec X réduit et Y séparé. Supposons qu'il existe une partie ouverte dense U de X telle que f | U = g | U. Alors f = g.

  • Soit f: X\to Y un morphisme de S-schémas avec Y séparé sur S. Alors le graphe de f est une partie fermée de X\times_S Y. Le graphe de f est par définition l'image du morphisme ({\rm Id}_X, f) : X\to X\times_S Y (qui intuitivement envoie x sur (x,f(x)), ce qui est d'ailleurs rigoureusement exact au niveau des T-points X(T)\to X(T)\times Y(T)).

Références bibliographiques

Alexandre Grothendieck et Jean Dieudonné: Éléments de géométrie algébrique, Chapitre I. Springer Verlag, 1971. - (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften; 166).


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Morphisme séparé de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Projet:Mathématiques/Liste des articles de mathématiques — Cette page n est plus mise à jour depuis l arrêt de DumZiBoT. Pour demander sa remise en service, faire une requête sur WP:RBOT Cette page recense les articles relatifs aux mathématiques, qui sont liés aux portails de mathématiques, géométrie ou… …   Wikipédia en Français

  • TOPOLOGIQUE (ALGÈBRE) — L’algèbre topologique est consacrée à l’étude d’ensembles munis d’une topologie et d’une structure algébrique définie par des lois de composition continues (cf. TOPOLOGIE, ALGÈBRE). Les exemples les plus importants sont les groupes topologiques,… …   Encyclopédie Universelle

  • TOPOLOGIQUES (ESPACES VECTORIELS) — La théorie des espaces normés, développée par S. Banach et ses élèves, s’est vite révélée insuffisante pour les besoins de l’analyse fonctionnelle où interviennent de nombreux espaces vectoriels munis d’une topologie qui n’est pas déduite d’une… …   Encyclopédie Universelle

  • GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE — Sous sa forme actuelle, la géométrie algébrique est une branche de l’algèbre relativement récente (cf. ALGÈBRE, DEDEKIND). Pour «comprendre» les phénomènes d’intersection des courbes et des surfaces, il s’est révélé nécessaire d’élaborer des… …   Encyclopédie Universelle

  • Schéma intègre — En mathématiques et plus particulièrement en géométrie algébrique, un schéma intègre est un schéma qui est localement défini par des anneaux intègres. Dans tout ce qui suit, le mot schéma peut être remplacé par variété algébrique sauf mention… …   Wikipédia en Français

  • SPECTRALE (THÉORIE) — L’objet de la théorie spectrale est d’obtenir, pour certains endomorphismes d’un espace hilbertien, des formes réduites analogues aux formes canoniques de Jordan pour les endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie et aux formes… …   Encyclopédie Universelle

  • Groupe topologique — En mathématiques, un groupe topologique est un groupe muni d une topologie compatible avec la structure de groupe, c est à dire lorsque la loi de composition interne du groupe et le passage à l inverse sont deux applications continues. L étude… …   Wikipédia en Français

  • Graphe (mathématiques) — Théorie des graphes  Pour la notion mathématique utilisée en Théorie des ensembles, voir Graphe d une fonction. La théorie des graphes est une branche commune à l informatique et aux mathématiques étudiant les graphes et les objets qui lui… …   Wikipédia en Français

  • Graphe (théorie des graphes) — Théorie des graphes  Pour la notion mathématique utilisée en Théorie des ensembles, voir Graphe d une fonction. La théorie des graphes est une branche commune à l informatique et aux mathématiques étudiant les graphes et les objets qui lui… …   Wikipédia en Français

  • Theorie des graphes — Théorie des graphes  Pour la notion mathématique utilisée en Théorie des ensembles, voir Graphe d une fonction. La théorie des graphes est une branche commune à l informatique et aux mathématiques étudiant les graphes et les objets qui lui… …   Wikipédia en Français