Modèle de l'hyperboloïde

Modèle de l'hyperboloïde

En géométrie, le modèle de l'hyperboloïde, également dénommé modèle de Minkowski ou modèle de Lorentz (d'après les noms de Hermann Minkowski et Hendrik Lorentz), est un modèle de géométrie hyperbolique dans un espace de Minkowski de dimension n. Ce modèle d'espace hyperbolique est étroitement lié au modèle de Klein.

Sommaire

Forme quadratique de Minkowski

Article détaillé : Espace de Minkowski.

Si (x0, x1, …, xn) est un vecteur de dimension (n+1) dans l'espace Rn+1, la forme quadratique de Minkowski est définie par :

 Q(x_0, x_1, \ldots, x_n) = x_0^2 - x_1^2 - \ldots - x_n^2

Les vecteurs vRn+1 tel que Q(v) = 1 forment un hyperboloïde S de dimension n constitué de deux composantes connexes, ou feuilles : la feuille avant, ou future, S+, où x0>0 et la feuille arrière, ou passée, S, où x0<0. Les points du modèle de l'hyperboloïde de dimension n sont les points appartenant à la feuille S+.

La forme bilinéaire de Minkowski B (qui n'est pas un produit scalaire) est la polarisation de la forme quadratique de Minkowski Q :

B(u, v) = \dfrac{Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}{2}

Explicitement,

B((x_0, x_1, \ldots, x_n), (y_0, y_1, \ldots, y_n)) = x_0y_0 - x_1 y_1 - \ldots - x_n y_n.

La distance hyperbolique entre deux points u et v de S+ est donnée par la formule :

d(u,v) = cosh  − 1(B(u,v))

Références

Voir aussi

Bibliographie

  • (en) D. V. Alekseevskij, E. B. Vinberg et A. S. Solodovnikov, Geometry of Spaces of Constant Curvature, Berlin, New York, Springer Verlag, coll. « Encyclopaedia of Mathematical Sciences », 1993 (ISBN 3-540-52000-7) 
  • (en) James Anderson, Hyperbolic Geometry, Berlin, New York, Springer Verlag, coll. « Springer Undergraduate Mathematics Series », 2005 (ISBN 978-1-85233-934-0) 
  • John G. Ratcliffe, Foundations of hyperbolic manifolds, Berlin, New York, Springer Verlag, 1994 (ISBN 978-0-387-94348-0), chap. 3 
  • (en) William F. Reynolds, « Hyperbolic geometry on a hyperboloid », dans American Mathematical Monthly, 1993 , 100:442–55
  • (en) Patrick J. Ryan, Euclidean and non-Euclidean geometry: An analytical approach, Cambridge, London, New York, New Rochelle, Melbourne, Sydney, Cambridge University Press, 1986 (ISBN 0-521-25654-2) 
  • (en) V. Varićak, « On the Non-Euclidean Interpretation of the Theory of Relativity », dans Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, vol. 21, 1912, p. 103–127 
  • (en) Scott Walter, The Symbolic Universe: Geometry and Physics, Oxford University Press, 1999, 91–127 p. [lire en ligne] 

Articles connexes


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