Lemme de Gauss (géométrie riemannienne)


Lemme de Gauss (géométrie riemannienne)

En géométrie riemannienne, le lemme de Gauss permet de comprendre l'application exponentielle comme une isométrie radiale. Dans ce qui suit, soit M une variété riemannienne dotée d'une connexion de Levi-Civita (i.e. en particulier, cette connexion est symétrique et compatible avec la métrique de M).

Sommaire

Introduction

Nous avons défini sur M l'application exponentielle en p\in M par


\exp_p:T_pM\supset B_{\epsilon}(0) \longrightarrow M,\qquad v\longmapsto \gamma(1, p, v),

où on a dû restreindre le domaine TpM de définition à une boule B_\epsilon(0) de rayon ε > 0 et de centre 0 pour s'assurer que exp p est bien définie et où γ(1,p,v) est le point q\in M atteint en suivant l'unique géodésique γ passant par le point p\in M avec la vitesse \frac{v}{\vert v\vert}\in T_pM sur une distance \vert v\vert. Nous remarquons très aisément que exp p est un difféomorphisme local autour de 0\in B_\epsilon(0). En effet, soit \alpha : I\rightarrow T_pM une courbe différentiable dans TpM telle que α(0): = 0 et α'(0): = v. Comme T_pM\cong \mathbb R^n, il est clair qu'on peut choisir α(t): = vt. Dans ce cas, par la définition de la différentielle de l'exponentielle en 0 appliquée sur v, nous obtenons


T_0\exp_p(v) = \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}  \Bigl(\exp_p\circ\alpha(t)\Bigr)\Big\vert_{t=0} = \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \Bigl(\exp_p(vt)\Bigr)\Big\vert_{t=0}=\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} \Bigl(\gamma(1,p,vt)\Bigr)\Big\vert_{t=0}= \gamma'(t,p,v)\Big\vert_{t=0}=v.

Le fait que exp p soit un difféomorphisme local et que T0exp p(v) = v pour tout v\in B_\epsilon(0) nous permet d'affirmer que exp p est une isométrie locale autour de 0, i.e.


\langle T_0\exp_p(v), T_0\exp_p(w)\rangle_0 = \langle v, w\rangle_p\qquad\forall v,w\in B_\epsilon(0).

Ceci signifie en particulier qu'il est possible d'identifier la boule B_\epsilon(0)\subset T_pM avec un petit voisinage autour de p\in M. Nous sommes déjà contents de voir que exp p est une isométrie locale, mais on aimerait bien que ce soit un peu plus que ça. Il s'avère qu'il est en fait possible de montrer que cette application est même une isométrie radiale !

Fichier:Gauss lemma local isometry.png
L'exponentielle comme isométrie locale

Ceci signifie en particulier qu'il est possible d'identifier la boule B_\epsilon(0)\subset T_pM avec un petit voisinage autour de p\in M. Nous sommes déjà contents de voir que \exp_p\ est une isométrie locale, mais on aimerait bien que ce soit un peu plus que ça. Il s'avère qu'il est en fait possible de montrer que cette application est même une isométrie radiale !

Lemme de Gauss : l'exponentielle comme isométrie radiale

Soit p\in M. Dans ce qui suit, nous faisons l'identification T_vT_pM\cong T_pM\cong \mathbb R^n. Le lemme de Gauss dit :

Soient v,w\in B_\epsilon(0)\subset T_vT_pM\cong T_pM et M\ni q:=\exp_p(v). Alors,


\langle T_v\exp_p(v), T_v\exp_p(w)\rangle_v = \langle v,w\rangle_q.

Pour p\in M, ce lemme signifie que \exp_p\ est une isométrie radiale dans le sens suivant : soit v\in B_\epsilon(0), i.e. tel que \exp_p\ est bien définie. De plus, soit q:=\exp_p(v)\in M. Alors, l'exponentielle \exp_p\ reste une isométrie en q\ , et, plus généralement, tout au long de la géodésique \gamma\ (pour autant que \gamma(1,p,v)=\exp_p(v)\ soit bien définie) ! Donc, radialement, dans toutes les directions permises par le domaine de définition de \exp_p\ , celle-ci reste une isométrie.

Fichier:Gauss lemma radial isometry.png
L'exponentielle comme isométrie radiale

Preuve

Rappelons que


T_v\exp_p : T_pM\cong T_vT_pM\supset T_vB_\epsilon(0)\longrightarrow T_qM.

Nous procédons en trois étapes :

  • T_v\exp_p(v)=v\  : construisons une courbe \alpha : \mathbb R \supset I \rightarrow T_pM telle que \alpha(0):=v\in T_pM, \alpha'(0):=v\in T_vT_pM\cong T_pM et | v | = cste. Comme T_vT_pM\cong T_pM\cong \mathbb R^n, on peut poser \alpha(t):=e^tv\ . Alors,

T_v\exp_p(v) = \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\Bigl(\exp_p\circ\alpha(t)\Bigr)\Big\vert_{t=0}=\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\gamma(t,p,v)\Big\vert_{t=0} = v.

Calculons maintenant le produit scalaire \langle T_v\exp_p(v), T_v\exp_p(w)\rangle.

Décomposons w\ en une composante w_T\ tangente à v\ et une composante w_N\ normale à v\ . En particulier, posons w_T:=\alpha v\ , \alpha\in \mathbb R.

L'étape précédente implique alors directement :


\langle T_v\exp_p(v), T_v\exp_p(w)\rangle = \langle T_v\exp_p(v), T_v\exp_p(w_T)\rangle + \langle T_v\exp_p(v), T_v\exp_p(w_N)\rangle=\alpha\langle T_v\exp_p(v), T_v\exp_p(v)\rangle + \langle T_v\exp_p(v), T_v\exp_p(w_N)\rangle=\langle v, w_T\rangle + \langle T_v\exp_p(v), T_v\exp_p(w_N)\rangle.

Il faut donc montrer que le second terme est nul, car, selon le lemme de Gauss, on devrait avoir


\langle T_v\exp_p(v), T_v\exp_p(w_N)\rangle = \langle v, w_N\rangle = 0.
  • \langle T_v\exp_p(v), T_v\exp_p(w_N)\rangle = 0 :
Fichier:Gauss lemma proof.png
La courbe choisie pour prouver le lemme

définissons la courbe


\alpha : ]-\epsilon, \epsilon[\times [0,1] \longrightarrow T_pM,\qquad (s,t) \longmapsto t\cdot v(s),

avec v(0):=v\ et v'(0):=w_N\ . On remarque au passage que


\alpha(0,1) = v(0) = v,\qquad\frac{\partial \alpha}{\partial t}(0,t) = v(0) = v,\qquad\frac{\partial \alpha}{\partial s}(0,t) = tw_N.

Posons alors


f : ]-\epsilon, \epsilon[\times [0,1] \longrightarrow M,\qquad (s,t)\longmapsto \exp_p(t\cdot v(s)),

et calculons :


T_v\exp_p(v)=T_{\alpha(0,1)}\exp_p\left(\frac{\partial \alpha}{\partial t}(0,1)\right)=\frac{\partial}{\partial t}\Bigl(\exp_p\circ\alpha(s,t)\Bigr)\Big\vert_{t=1, s=0}=\frac{\partial f}{\partial t}(0,1)

et


T_v\exp_p(w_N)=T_{\alpha(0,1)}\exp_p\left(\frac{\partial \alpha}{\partial s}(0,1)\right)=\frac{\partial}{\partial s}\Bigl(\exp_p\circ\alpha(s,t)\Bigr)\Big\vert_{t=1,s=0}=\frac{\partial f}{\partial s}(0,1).

Donc,


\langle T_v\exp_p(v), T_v\exp_p(w_N)\rangle = \langle \frac{\partial f}{\partial t},\frac{\partial f}{\partial s}\rangle(0,1).

On va vérifier maintenant que ce produit scalaire est en fait indépendant de la variable t, et donc que, par exemple,


\langle\frac{\partial f}{\partial t},\frac{\partial f}{\partial s}\rangle(0,1) = \langle\frac{\partial f}{\partial t},\frac{\partial f}{\partial s}\rangle(0,0) = 0,

car, selon ce qui a été donné plus haut,


\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\partial f}{\partial s}(t,0) = \lim_{t\rightarrow 0}T_{tv}\exp_p(tw_N) = 0

étant donné que la différentielle est une application linéaire ! Ceci prouverait alors le lemme.

  • On vérifie que \frac{\partial}{\partial t}\langle \frac{\partial f}{\partial t},\frac{\partial f}{\partial s}\rangle=0 : c'est du calcul direct. En effet, on prend d'abord conscience du fait que les applications t\mapsto f(s,t) sont des géodésiques, i.e. \frac{D}{\partial t}\frac{\partial f}{\partial t}=0. Alors,

\frac{\partial}{\partial t}\langle \frac{\partial f}{\partial t},\frac{\partial f}{\partial s}\rangle=\langle\underbrace{\frac{D}{\partial t}\frac{\partial f}{\partial t}}_{=0}, \frac{\partial f}{\partial s}\rangle+\langle\frac{\partial f}{\partial t},\frac{D}{\partial t}\frac{\partial f}{\partial s}\rangle=\langle\frac{\partial f}{\partial t},\frac{D}{\partial s}\frac{\partial f}{\partial t}\rangle=\frac{\partial }{\partial s}\langle \frac{\partial f}{\partial t}, \frac{\partial f}{\partial t}\rangle - \langle\frac{\partial f}{\partial t},\frac{D}{\partial s}\frac{\partial f}{\partial t}\rangle.

Donc, en particulier,


0=\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial s}\langle \frac{\partial f}{\partial t}, \frac{\partial f}{\partial t}\rangle= \langle\frac{\partial f}{\partial t},\frac{D}{\partial s}\frac{\partial f}{\partial t}\rangle=\frac{\partial}{\partial t}\langle \frac{\partial f}{\partial t},\frac{\partial f}{\partial s}\rangle,

car on a | v | = cste.

Voir aussi

Référence

(en) Manfredo Perdigão do Carmo, Riemannian geometry, Boston, Birkhäuser Verlag (en), 1992 (ISBN 9780817634902) [présentation en ligne] 


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