Graphe de Harborth

Graphe de Harborth
Nombre de sommets	52
Nombre d'arêtes	104
Distribution des degrés	4-régulier
Rayon	6
Diamètre	9
Maille	3
Automorphismes	4 (Z/2Z×Z/2Z)
Nombre chromatique	3
Indice chromatique	4
Propriétés	Distance-unité Planaire Eulérien
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Le graphe de Harborth est, en théorie des graphes, un graphe 4-régulier possédant 52 sommets et 104 arêtes. C'est un graphe allumette donc c'est à la fois un graphe distance-unité et un graphe planaire. Il s'agit du plus petit graphe allumette 4-régulier connu et il fut découvert par Heiko Harborth en 1986^[1]. Si sa minimalité n'est toujours pas prouvée, on sait en revanche qu'il n'existe pas de graphe allumette 5-régulier^[2].

Propriétés

Propriétés générales

Le diamètre du graphe de Harborth, l'excentricité maximale de ses sommets, est 9, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 6 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 3. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 4-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 4 arêtes.

En 2006, Eberhard H.-A. Gerbracht démontra que c'était un graphe rigide^[3].

Coloriage

Le nombre chromatique du graphe de Harborth est 3. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 3 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes mais ce nombre est minimal. Il n'existe pas de 2-coloration valide du graphe.

L'indice chromatique du graphe de Harborth est 4. Il existe donc une 4-coloration des arêtes du graphe tels que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Propriétés algébriques

Le groupe d'automorphismes du 42-graphe de Harborth est un groupe abélien d'ordre 4 isomorphe à Z/2Z×Z/2Z, le groupe de Klein.

Le polynôme caractéristique du graphe de Harborth est :

(x − 4)(x + 2)⁶(x¹¹ − 4x¹⁰ − 14x⁹ + 50x⁸ + 89x⁷ − 196x⁶ − 293x⁵ + 214x⁴ + 351x³ + 10x² − 69x − 14)

(x¹¹ − 2x¹⁰ − 18x⁹ + 26x⁸ + 111x⁷ − 94x⁶ − 267x⁵ + 72x⁴ + 213x³ − 47x − 4)

(x¹¹ − 18x⁹ − 14x⁸ + 99x⁷ + 136x⁶ − 135x⁵ − 290x⁴ − 27x³ + 166x² + 93x + 14)

(x¹² − 2x¹¹ − 22x¹⁰ + 26x⁹ + 181x⁸ − 74x⁷ − 641x⁶ − 120x⁵ + 863x⁴ + 532x³ − 153x² − 152x − 16)

Voir aussi

Liens internes

• Théorie des graphes

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, Harborth Graph (MathWorld)

Références

1. ↑ Harborth, H. "Match Sticks in the Plane." In The Lighter Side of Mathematics. Proceedings of the Eugéne Strens Memorial Conference of Recreational Mathematics & its History. Calgary, Canada, July 27-August 2, 1986 (Eds. R. K. Guy and R. E. Woodrow). Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 281-288, 1994.
2. ↑ Peterson, I. "Mathland: Matchsticks in the Summer." August 1996. http://www.maa.org/mathland/mathland_8_12.html
3. ↑ Gerbracht, E. H.-A. "Minimal Polynomials for the Coordinates of the Harborth Graph." Oct. 5, 2006. http://arxiv.org/abs/math.CO/0609360.