Fractale de Rauzy


Fractale de Rauzy
Fractale de Rauzy

La fractale de Rauzy (ou, au masculin, "le fractal de Rauzy") est une figure fractale associée à la substitution de Tribonacci : s(1) = 12, s(2) = 13, s(3) = 1. Cette étude a été réalisée en 1981 par Gérard Rauzy[1], dans l'objectif de généraliser les propriétés dynamiques de la substitution de Fibonacci. Cette fractale se généralise à d'autres substitutions à trois lettres, générant d'autres figures aux propriétés intéressantes (pavage périodique du plan, auto-similarité en 3 parties homothétiques...).

Sommaire

Définitions

Le mot infini de tribonacci se construit d'après la substitution dite de Tribonacci : s(1) = 12, s(2) = 13, s(3) = 1. À partir de 1, les mots de Tribonacci successifs sont donc :

  • t0 = 1
  • t1 = 12
  • t2 = 1213
  • t3 = 1213121
  • t4 = 1213121121312

On montre que, pour n > 2, tn = tn − 1tn − 2tn − 3, d'où le nom "Tribonacci".

Construction

Considérons, maintenant, l'espace R3 muni d'un référentiel orthonormé. La fractale de Rauzy se construit, alors, comme suit:

1) Interprêter la suite des lettres du mot infini de Tribonacci comme une suite de vecteurs unitaires de l'espace selon la règle: (1 = direction x, 2 = direction y, 3 = direction z).

2) Construire alors un "escalier" en traçant les points atteints par cette séquence de vecteurs. Par exemple, les premiers points sont :

  • 1 \Rightarrow (1, 0, 0)
  • 2 \Rightarrow (1, 1, 0)
  • 1 \Rightarrow (2, 1, 0)
  • 3 \Rightarrow (2, 1, 1)
  • 1 \Rightarrow (3, 1, 1)

etc...Chaque point peut être coloré selon la valeur de la lettre correspondante afin de mettre en lumière l'auto-similarité.

3) Projeter alors ces points sur l'espace contractant (plan orthogonal à la direction générale de propagation de ces points, aucun des points projetés ne s'échappe à l'infini). La fractale de Rauzy est la clôture de cet ensemble.

Propriétés

  • Peut être recouverte par trois copies d'elle-même, réduites de facteurs : k, k2 et k3 avec k solution de k3 + k2 + k − 1 = 0: \scriptstyle{k = \frac{1}{3}(-1-\frac{2}{\sqrt[3]{17+3 \sqrt{33}}}+\sqrt[3]{17+3 \sqrt{33}}) = 0.54368901269207636}.
  • Stable par échange de morceaux. On obtient la même figure chageant les trois copies de place.
  • Connexe et simplement connexe. N'a pas de trou.
  • Pavage périodique par translation: Peut paver le plan par translation, de manière périodique.
  • La matrice de la substitution de Tribonacci a pour polynôme caractéristique x3x2x − 1, ses valeurs propres étant un réel β = 1,8392, appelé constante de Tribonacci, un nombre de Pisot, et deux complexes conjugués α et \bar \alpha avec \alpha \bar \alpha=1/\beta .
  • Sa frontière est fractale et la dimension de Hausdorff de cette frontière égale 1,0933. (solution de 2 | α | 3s + | α | 4s = 1 [2].

Variantes et généralisation

Pour toute substitution de type Pisot et unimodulaire, qui vérifie, en plus, une condition particulière dite de coïncidences (toujours vérifiée, semble-t-il), on peut construire un ensemble du même genre appelé fractal de Rauzy de la substitution. Ils sont tous auto-similaires et engendrent, pour les exemples ci-dessous, un pavage périodique de l'espace.

Références et bibliographie

Voir aussi

Liens externes

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