Forme locale


Forme locale
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En géométrie différentielle, la forme locale d'une courbe plane est la grandeur qui caractérise sa forme en un point comme le rayon de courbure (ou la courbure) caractérise la courbure d'un arc. Cette grandeur est invariante par homothétie en plus d"être invariante par translation et rotation comme le sont le rayon de courbure ou la courbure. Pour une courbe plane la forme locale est définie en tout point qui n'est pas un point d'inflexion, sous réserve que la courbe ne contienne pas de segment de droite et ait des propriétés de dérivabilité suffisante.

Avant de définir la forme locale il est nécessaire de définir les représentations utilisées pour la courbe.

Sommaire

Représentations d'une courbe plane

On peut définir une courbe paramétriquement comme l'ensemble des points d'abscisses x(t) et d'ordonnées y(t) pour t appartenant à [a,b].

x = x(t)

y = y(t)

On s'intéressera à des arcs de courbe ayant en tous points les propriétés suivantes :

  • L'arc de courbe est dérivable jusqu'à l'ordre trois.
  • Le vecteur dérivé premier est non nul. (Pas de point stationnaire, et en particulier pas de point de rebroussement.)
  • Le vecteur dérivé second n'est pas lié au vecteur dérivé premier, sauf en des points isolés.

Ce sont là des conditions suffisantes pour définir abscisses curvilignes, tangentes à la courbe et rayons de courbure. On considère que toutes les représentations paramétriques (x(t), y(t)) dont il est question dans la suite vérifient ces conditions.

Représentation par l'abscisse curviligne

Les relations

s = s(t)

q = q(t)

où s(t) est l'abscisse curviligne et où q(t) est l'angle de la tangente à la courbe avec l'axe des abscisses définissent une autre représentation possible de la courbe. C'est celle-ci qui sera principalement utilisée.

Ces représentations paramétriques ( x(t) , y(t) ) et ( (s(t) , q(t) ) sont liées par les relations :

\textstyle s(t) = \int\limits_{t0}^{t} (x'^2 + y'^2)^\frac{1}{2} ~ dt     avec t0 origine fixée arbitrairement

\textstyle q(t) = \int\limits_{t0}^{t} { \frac {y'' x' - y' x''} {x'^2 +y'2}} ~ dt    avec    \textstyle x' = \frac {dx}{dt} \quad x'' =  \frac {d^2x}{dt^2}

Définition d'un autre paramètrage pour représenter la courbe.

Pour définir la forme locale, au lieu de paramétrer la courbe par la variable t, on la paramètre par une quantité qui ne dépende ni de l'échelle de la courbe, ni de l'ensemble de la courbe. On définit pour cela ce que l'on appelle l'abscisse angulaire le long de la courbe :

\textstyle\color{Blue} T(t) = \int\limits_{t0}^{t} \left| \frac {dq}{dt} \right| ~ dt     (si on compte positivement les abscisses angulaires dans le sens des t croissants)

t0 définit l'origine des abscisses angulaires.

T(t) est une fonction strictement croissante si l'arc de courbe considéré ne contient pas de segment de droite ni de point d'inflexion.Sous ces conditions on peut paramétrer la courbe par T au lieu de t.

On peut dire que T(t) est la longueur angulaire de la courbe entre les points [x(t0), y(t0)] et [x(t), y(t)]. De cette définition on déduit aisément :

\textstyle  \frac {dT}{dt} =  \left| \frac {dq}{dt} \right|    soit    \textstyle   \frac {dq}{dt} = \textstyle{\pm} 1

Cette remarque nous sera utile par la suite. Pour une courbe sans point d'inflexion, T est l'angle de la tangente à la courbe (une origine ayant été définie par le choix de t0).

Expression de la forme locale

Pour une courbe définie par :    s = s(T)    et    q = q(T)

On appelle forme locale en T de la courbe le couple de valeurs :

 { \color{Blue} \left( \frac { \frac {d^2s}{dT^2} } { \frac {ds}{dT} }   \frac {dq}{dT}   ~,~   \frac {dq}{dT} \right)}    avec     \frac {dq}{dT} = \textstyle{\pm} 1

Par facilité de language on peut aussi appeler forme locale en T, ou forme au point d'abscisse T la seule valeur :  f(T) = \frac { \frac {d^2s}{dT^2} } { \frac {ds}{dT} }   \frac {dq}{dT}

La forme locale s'exprime en rd-1

Pour pouvoir définir cette grandeur il faut que la courbe soit paramétrable par T (c'est-à-dire ne contienne ni segment de droite ni point d'inflexion), et bien sûr soit dérivable par rapport à T.

Remarque 

f(T) peut aussi s'écrire :

 f(T) = \frac{\frac{dr}{dT}}{r} \, \frac{dq}{dT}    où     r = \frac{ds}{dq}    est le rayon de courbure

En effet :

\textstyle  \frac{dr}{dT} = \frac{d \left( \frac{ds}{dq} \right)}{dT} = \frac{ d \left( \frac{ds}{dT} \frac{dT}{dq} \right)}{dT} =  \frac{d^2s}{dT^2}  \frac{dT}{dq}

et

\textstyle  r = \frac{ds}{dq} =\frac{ds}{dT}  \, \frac{dT}{dq}

On en déduit immédiatement la première expression donnée pour f(T).

Invariance de la forme locale

  • Si on transforme par une homothétie la courbe considérée, ds/dT se trouve multiplié par le rapport de l'homothétie. Il en est de même de   d²s / dT²   donc   \textstyle \frac {d^2s/dT^2}{ds/dT}   et f(T) sont invariants par homothétie.

Pour apprécier l'invariance par homothétie on pourrait aussi raisoner sur l'expression : \textstyle f(T) = \frac {(dr/dT)}{r} ~ \frac {dq}{dT}

  • Le signe de la quantité \textstyle  \frac {d^2s/dT^2}{ds/dT} est dépendant du sens de parcourt de la courbe. En considérant que f(T) est égal au produit de cette expression par dq/dT on s'affranchit de cette dépendance.
Remarque 

Soit une courbe caractérisée par   f(T)   et   dq/dT, sa courbe symétrique (par rapport à une droite) aura pour caractéristique   - f(t)   et   - dq/dT.

Reconstruction d'une courbe à partir de   f(T) et   dq/dT

Pour montrer que si   f(T)   et   dq/dT   existent, elles caractérisent complètement la forme de la courbe, on va exprimer   s(t)   et   q(t)   en fonction de   f(T)   et   dq/dT. On exprimera également   x(T)   et   y(T)   en fonction de   f(T)   et   dq/dT.

\textstyle  f(T) = \frac {(dr/dT)}{r(T)} ~ \frac {dq}{dT}

\textstyle  f(T) (dq/dT) = \frac {dr/dT}{r(T)}

\textstyle  \int\limits_{T0}^{T} f(T) (dq/dT) dT ~ =  ~ \int\limits_{T0}^{T} \frac{dr/dT}{r(T)} dT

                                                   \textstyle = ~ ln(\left| r(T)\right|) - ln(\left| r(T_{0})\right|)

D'où :

\textstyle \left|r(T)\right| =  \left|r(T_{0})\right| \, \exp \bigl( \int\limits_{T_0}^{T} f(T) (dq/dT)~ dT \bigr)

D'autre part :

\textstyle  s(T) = \int\limits_{T_1}^{T} (ds/dT) \, dT

Si on oriente la courbe dans le sens des T croissants, alors   ds/dT >0   et on peut donc écrire :

\textstyle s(T) = \int\limits_{T_1}^{T} \left|(ds/dT)\right| \, dT

             \textstyle = \int\limits_{T_1}^{T} \left|r(T)\right| \, dT

Donc :

\textstyle  s(T) = \int\limits_{T_1}^{T} \left|r(T_{0})\right| \, \exp \biggl( \int\limits_{T_0}^{T} f(T) \frac{dq}{dT}~ dT \biggr) ~dT

  • Le choix de   T1   détermine l'origine des abscisses curvilignes;
  • Le choix de   r(T0)   détermine la taille de la courbe.


D'autre part:

\textstyle q(T) = \int\limits_{T_2}^{T}  \frac{dq}{dT} \, dT ~ + ~ q_2      q2 étant l'angle de la tangente au point défini par   T2.

Plus simplement, si   T0   est pris comme origine des abscisses curvilignes, si   r(T0)   est le rayon de courbure en   T0   et   si   q0   est l'angle de la tangente en   T0, alors:

\textstyle \color{Blue}  s(T) =  \left|r(T_{0})\right| \, \int\limits_{T_0}^{T} \, \exp \biggl( \int\limits_{T_0}^{T} f(T) \frac{dq}{dT}~ dT \biggr) ~dT

\textstyle \color{Blue} q(T) = \int\limits_{T_0}^{T}  \frac{dq}{dT} \, dT ~ + ~ q_0

La forme de la courbe de représentation :

s = s(T)

q = q(T)

est donc complètement définie par la connaissance de   f(T)   et de   (dq/dT)(T).

On peut évidemment exprimer   x   et   y   en fonction de   f(T)   et   dq/dT. On a :

\textstyle x(s) = \int\limits_{s_0}^{s} \cos(q(s)) \, ds ~ + ~ x_0

\textstyle y(s) = \int\limits_{s_0}^{s} \sin(q(s)) \, ds ~ + ~ y_0

Ou encore :

\textstyle x(T) = \int\limits_{T_0}^{T} \cos(q(T)) \, \frac{ds}{dT} (T)  \, dT ~ + ~ x_0

\textstyle y(T) = \int\limits_{T_0}^{T} \sin(q(T)) \, \frac{ds}{dT} (T)   \, dT ~ + ~ y_0

Or

\textstyle \frac{ds}{dT} (T) = \left| r(T_0) \right| ~ \exp\biggl( \int\limits_{T_0}^{T} f(T) \frac{dq}{dT} \, dT \biggr)

Donc :   (1)

\textstyle{\color{Blue} x(T) = \left| r(T_0) \right| ~ \int\limits_{T_0}^{T} \bigg[ \cos \biggl( \int\limits_{T_0}^{T} \frac{dq}{dT} dT \,+\, q_0 \biggr)  \exp \biggl( \int\limits_{T_0}^{T} f(T) \frac{dq}{dT} \biggr)  \bigg] dT ~ + ~ x_0  }

\textstyle{\color{Blue} y(T) = \left| r(T_0) \right| ~ \int\limits_{T_0}^{T} \bigg[ \sin \biggl( \int\limits_{T_0}^{T} \frac{dq}{dT} dT \,+\, q_0 \biggr)  \exp \biggl( \int\limits_{T_0}^{T} f(T) \frac{dq}{dT} \biggr)  \bigg] dT ~ + ~ y_0 }

Conditions d'existence, calcul de la forme locale

On a vu qu'il est possible de caractériser localement la forme d'une courbe par :

\textstyle  f(T) = \frac{(dr/dT}{r} \, \frac{dq}{dT}    et     \frac{dq}{dT}

Voyons maintenant comment calculer pratiquement ces valeurs pour un arc de courbe défini par ( (x(t) , y(t) ) :

On a :

\textstyle f(T) = \frac{dr/dT}{r}  \frac{dq}{dT} = \frac{1}{r} \frac{dr/dT}{dq/dT}

Si t est une fonction strictement monotone de T, on peut effectuer le changement de variable   t = t(T)   on obtient :

\textstyle  f(t) = \frac{1}{r(t)} \frac{dr/dt}{dq/dt}

On peut calculer f(t) à partir des relations ci-dessous.

Si x', x, x' ... représentent les dérivées premières secondes et troisièmes par rapport à t.

Soit s l'abscisse curviligne, on a :

  ds = k \, ((x')^2 + (y')^2)^{1/2} \, dt    avec    k = + 1    ou    k = -1

Soit q l'angle de la tangente à la courbe, avec l'axe des abscisses, on a :

 tg \, (q) = y'/x'

Après quelques calculs on en déduit :   (2)

 {\color{Blue} {dq/dt = \frac {y'' x' - y' x''} {x'^2 + y'^2} } }

 {\color{Blue} f(t) = \frac {3(x'x''+y'y'')(x'y''-y'x'')-(x'^2 + y'^2)(x'y'''-y'x''')} {(x'y''-y'x'')^2} }

Il est dificille d'effectuer le changement de variable pour exprimer f en fonction de T plutôt que t, on laisse donc l'expression sous cette forme.

Remarques 
  • On ne peut définir la forme locale d'une droite ou d'un segment de droite (pour une droite ou un segment de droite (x'y'' − y'x'') et (x'y''' − y'x''') sont nuls en tout point).
  • La forme locale d'un cercle est la constante 0.
  • Lorsqu'on se rapproche d'un point d'inflexion (x'y'' − y'x'') tend vers 0, donc on peut dire que f (t) tend vers plus ou moins l'infini sauf si le vecteur dérivé troisième est lié au vecteur dérivé premier (x'y''' − y'x''') , auquel cas, il faudrait un examen plus détaillé de la limite de f(t).

Exemple 1

Ellipse et la représentation de sa forme locale

On considère l'ellipse définie par :

x = a cos(t)

y = b sin(t)

En utilisant les relations   (2)   on calcule :

\textstyle  f(t) = \frac{3 sin(2t) (a^2 - b^2)}{2 a b}

\textstyle dq/dt = \frac{a b}{a^2 sin^2(t) + b^2 cos^2(t)}

Pour exprimer la forme en fonction de T on a calculé numériquement l'intégrale

\textstyle  T(t) = \int\limits_{0}^{t} \left| \frac{dq}{dt_1} \right| \, dt_1

et on a effectué le changement de variable (expression de f et dq/dT en fonction de T au lieu de t).

Pour la figure ci-contre on a pris :

a = 3    et    b = 1.

Sur la figure les courbes représentant   f(t)   et   f(T)   sont représentées en vert et sont désignées par   clf.

Exemple 2

Spirale et la représentation de sa forme locale

Soit la forme définie par :

f(T) = a     a constante réelle

\textstyle \frac{dq}{dT} (T) = 1     pour tout T

En utilisant les relations   (1)   on peut trouver une représentation   x(t) , y(t)   correspondant à cette définition.

Dans le cas présent, en paramétrant par l'abscisse angulaire et en prenant :

\textstyle t_0   = 0     \textstyle q_0  = 0

\textstyle  x_0 = \frac{a \left| r(0) \right|}{1+ a^2}    ~~~~~~~~    y_0 = \frac{ - \left| r(0) \right|}{1+ a^2}

On a :

\textstyle x = \frac{\left| r(0) \right|}{1 + a^2} \, e^{at} ( a \cos(t) + sin(t))

\textstyle  y = \frac{\left| r(0) \right|}{1 + a^2} \, e^{at} ( - \cos(t) + a sin(t))

Pour la figure ci-contre, on a pris :

a = 0,2    et    r(0) = 1,04.

Dans ces conditions :

\textstyle  x = e^{0,2t} ~ ( \, 0,2 \,cos(t) + sin(t) \,)

\textstyle  y = e^{0,2t} ~ ( \, - \, cos(t) + 0,2 \, sin(t) \,)

Lien externe

Revue Traitement du Signal - La caractéristique locale de forme


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Forme locale de Wikipédia en français (auteurs)

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