Forme antisymétrique

En algèbre linéaire, une forme antisymétrique est une forme multilinéaire pour laquelle une permutation des variables correspond à la multiplication de la valeur par la signature.

Définition

Une forme antisymétrique de degré n sur un espace vectoriel E est une application f de Eⁿ dans son corps de scalaires qui est linéaire en chacune des variables et qui satisfait la relation suivante :

$\forall (x_1,\dots,x_n)\in E^n, \forall (i,j)\in \mathbb{N}^2, 0\leq i,j \leq n \quad f(x_1,\dots,x_i,\dots,x_j,\dots,x_n)=-f(x_1,\dots,x_j,\dots,x_i,\dots,x_n).$

Ainsi une application f d'un espace vectoriel de dimension 2 est dite antisymétrique si et seulement si la propriété suivante est vérifiée :

$\forall x,y \in E\quad f(x,y)=-f(y,x)\;$

Exemples

Le déterminant est une forme multilinéaire antisymétrique.

Toute forme alternée est antisymétrique. La réciproque est vraie pour les espaces vectoriels réels ou plus généralement lorsque le corps des scalaires est de caractéristique différente de 2.