Fonction de Volterra

En mathématiques, la fonction de Volterra, qui prend son nom de Vito Volterra, est une fonction réelle V(x) définie sur $\mathbb{R}$, ayant la curieuse combinaison de propriétés suivante :

• V(x) est dérivable partout ;
• la dérivée V'(x) est bornée partout ;
• la dérivée n'est pas Riemann-integrable.

Définition et construction

La fonction est définie à partir de l'ensemble de Smith-Volterra-Cantor et des « copies » de la fonction f définie par $f(x) = x^2\sin\left(\frac1x\right)$ pour x ≠ 0 et f(0) = 0. On commence par déterminer la plus grande valeur de x dans l'intervalle [0,1 / 8] pour laquelle f'(x) ≠ 0. Une fois cette valeur déterminée et notée x₀, on étend la fonction vers la droite par la constante f(x₀) jusqu'au point 1 / 8 inclus. Ceci étant fait, on crée l'image miroir de cette fonction à partir du point 1/4 et on l'étend vers la gauche jusqu'à 0, et on impose à cette nouvelle fonction d'être nulle à l'extérieur de l'intervalle [0,1 / 4]. On tranlate alors cette fonction sur l'intervalle [3/8, 5/8] de façon à ce que la nouvelle fonction ainsi construite, et notée f₁(x), soit non nulle seulement sur l'intervalle médian complémentaire de l'ensemble de Smith-Volterra-Cantor. On construit f₂(x) de la même manière, mais en considérant cette fois f'(x) sur l'intervalle plus petit [0,1 / 32], en la troncant à la plus grand valeur où la dérivée est nulle, en l'étendant, et en construisant son image miroir de la même manière que précédemment, deux copies translatées de la fonction ainsi obtenues étant ajoutée à f₁ pour produire la fonction f₂. La fonction de Volterra est alors obtenue en répétant cette procédure pour tout intervalle « retiré » dans la construction de l'ensemble de Smith-Volterra-Cantor ; en d'autres termes, la fonction V est la limite de la suite de fonctions f₁, f₂, …

Propriétés

La fonction de Volterra est dérivable partout comme f(x) définie ci-dessus l'est. On peut montrer que f'(x) = 2xsin(1 / x) − cos(1 / x) pour x ≠ 0, ce qui implique que dans tout voisinage de zéro, il y a des points où f'(x) prend les valeurs 1 et -1. Ainsi, il y a des points où V'(x) prend les valeurs 1 et -1 dans tout voisinage de chaque borne des intervalles retirés lors de la construction de l'ensemble de Smith-Volterra-Cantor noté S. En fait, en tout point de S, V est dérivable, de dérivée nulle, mais V'(x) y est discontinue. Cependant, V' est continue dans chacun de ces intervalles, donc l'ensemble des points de discontinuités de V' est exactement égal à S.

Comme l'ensemble S admet une mesure de Lebesgue strictement positive, cela signifie que V' est discontinue sur un ensemble de mesure non nulle, et donc non Riemann-intégrale.

Notons que l'on avait mené la même construction sur l'ensemble de Cantor C, on aurait obtenu une fonction avec des propriétés similaires, mais la dérivée aurait été discontinue sur C qui est de mesure nulle, et la fonction obtenue aurait alors eu une dérivée intégrable.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Volterra's function » (voir la liste des auteurs)