Espace de suites ℓp

En mathématiques, l'espace $\ell^p$ est un certain espace de suites à valeurs réelles ou complexes qui possède une structure d'espace de Banach.

Motivation

Considérons l'espace vectoriel réel ${}^{\R^n}$, i.e. l'espace des n-uplets de nombres réels.

La norme euclidienne d'un vecteur $x=(x_1, x_2, \dots, x_n)$ est donnée par :

$\|x\|=\left(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2\right)^{1/2}$.

Mais pour tout nombre réel p≥1, on peut définir une autre norme sur ${}^{\R^n}$, appelée la p-norme, en posant :

$\|x\|_p=\left(|x_1|^p+|x_2|^p+\dots+|x_n|^p\right)^{1/p}$

pour chaque vecteur $x=(x_1, x_2, \dots, x_n)$.

Pour chaque p≥1, ${}^{\R^n}$ muni de la p-norme est donc un espace vectoriel normé. Comme il est de dimension finie, c'est même un espace de Banach.

Espace $\ell^p$

La p-norme peut être étendue aux vecteurs ayant une infinité de composantes, ce qui permet de définir l'espace $\ell^p$.

Plus précisément, $\ell^p$ sera un sous-espace vectoriel de l'espace des suites infinies de nombres réels ou complexes, sur lequel la somme est définie par :

$(x_0, x_1, \dots, x_n, x_{n+1},\dots)+(y_0, y_1, \dots, y_n, y_{n+1},\dots)=(x_0+y_0, x_1+y_1, \dots, x_n+y_n, x_{n+1}+y_{n+1},\dots)$

et la multiplication par un scalaire par :

$\lambda(x_0, x_1, \dots, x_n, x_{n+1},\dots) = (\lambda x_0, \lambda x_1, \dots, \lambda x_n, \lambda x_{n+1},\dots).$

On définit la p-norme d'une suite $x=(x_0, x_1, \dots, x_n, x_{n+1},\dots)$ :

$\|x\|_p=\left(|x_0|^p+|x_1|^p+\dots+|x_n|^p+|x_{n+1}|^p+\dots\right)^{1/p}\in[0,+\infty].$

La série de droite n'est pas toujours convergente : par exemple, la suite (1,1,1,...) a une p-norme infinie pour n'importe quel p.

L'espace $\ell^p$ est défini comme l'ensemble des suites infinies de nombres réels ou complexes dont la p-norme est finie.

On définit aussi la ∞-norme comme :

$\|x\|_\infty=\sup(|x_0|, |x_1|, \dots, |x_n|,|x_{n+1}|, \dots)$

et l'espace vectoriel correspondant $\ell^\infty$ est l'espace des suites bornées. De plus on a :

$\|x\|_\infty=\lim_{p\to\infty}\|x\|_p.$

Voir aussi

• Espace L^p de fonctions
• Dual topologique, § Bidual d'un espace de Banach et réflexivité