Partie constructible

En géométrie algébrique, la notion d'ensembles constructibles généralise les parties ouvertes, fermées et même localement fermées. Les ensembles constructibles ont été introduits par Claude Chevalley, et présentent l'avantage d'être d'une manipulation plus souple. Par exemple l'image d'un constructible par un morphisme de présentation finie est constructible, alors ce n'est pas pas vrai pour les parties ouvertes ou fermées. Mais surtout, sous des hypothèses assez générales, si $f : X\to Y$ est un morphisme de schéma, l'ensemble des points de X ou de Y vérifiant certains types de propriétés est un ensemble constructible (sans être ni ouvert ni fermé en général).

Définition

Soit X un espace topologique. Toute partie de X appartenant au plus petit ensemble de parties de X contenant les parties ouvertes rétrocompactes (i.e. dont l'intersection avec tout ouvert quasi-compact de X est quasi-compact), stable par intersection finie et par passage au complémentaire, est appelé un sous-ensemble constructible.

Une partie E de X est dite localement fermée si tout point de E possède un voisinage ouvert dans X dans lequel E est fermé. Cela revient à dire que E est l'intersection d'un ouvert avec un fermé.

Un espace topologique X est dit noethérien si toute suite décroissante de parties fermées de X est stationnaire à partir d'un certain rang. L'espace topologique sous-jacent à un schéma noethérien est noethérien. Dans un espace topologique noethérien, toute partie de X est rétrocompacte. Ainsi toute partie localement fermée est constructible. On se restreint dans la suite aux espaces noethériens.

Proposition. Dans un espace topologique noethérien X, une partie est constructible si et seulement si c'est une réunion finie de parties localement fermées.

En effet, les parties localement fermées sont stable par intersection finie, et le complémentaire d'une partie localement fermée s'écrit comme réunion (disjointe) d'un ouvert et d'un fermé. Donc leurs réunions finies forment un ensemble stable par intersection finie et par passage au complémentaire. Et c'est visiblement le plus petit possible.

• Il est facile de voir que tout ensemble constructible est une réunion finie disjointe de parties localement fermées (un localement fermé moins un autre localement fermé est réunion disjointe de deux localement fermés).

• Si E est constructible, alors il contient un ouvert dense U de son adhérence $\overline{E}$. Alors E est la réunion disjointe de U (qui est localement fermé dans X) et de $E':=E\cap (\overline{E}\setminus U)$ qui est localement fermé d'intérieur vide dans $\overline{E}$. On peut recommencer ainsi avec E'. Par noethérianité le procédé s'arrête au bout d'un nombre fini de pas, ainsi E est une réunion finie disjointe de parties localement fermées de plus en plus petites.

• Un sous-ensemble constructible d'une partie fermé ou ouverte de X est constructible dans X.

• Être constructible est une propriété locale: dans un espace topologique noethérien, une partie E est constructible si et seulement si tout point de E possède un voisinage ouvert dans X dans lequel E est constructible.

• Les ensembles constructibles sont stables par image réciproque d'une application continue (entre espaces topologiques noethériens).

Exemple Dans le plan affine ${\mathbb A}^2_k$ sur un corps k, la réunion de l'origine (0,0) avec le complémentaire de la droite y = 0 est une partie constructible. Elle n'est pas localement fermée, mais c'est la réunion d'un fermé (l'origine) avec un ouvert (le plan moins la droite). C'est l'image du morphisme de schémas ${\mathbb A}^2_k \to {\mathbb A}^2_k$ qui sur les points est défini par $(x,y)\mapsto (xy,y)$. Cet exemple montre que l'image d'une variété algébrique par un morphisme n'est en général pas fermée ni ouverte.

Références bibliographiques

A. Grothendieck, J. Dieudonné: Éléments de géométrie algébrique, Chapitre 0, §9, Chapitre IV, § 1.8.