Formulaire de développement en série entière


Formulaire de développement en série entière

Ce formulaire de développement en séries entières recense les expressions de développements en série entière pour les fonctions de référence. Elles sont données avec indication du rayon de convergence dans le champ complexe ou réel.

  1. \forall x\in\mathbb{C},\, e^x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{x^n}{n!}}.

  2. \forall x\in\mathbb{R},\, \cos 
x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}(-1)^n\,{\frac{x^{2\,n}}{(2\,n)!}}.

  3. \forall x\in\mathbb{R},\, \sin x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}(-1)^n\,{\frac{x^{2\,n+1}}{(2\,n+1)!}}.

  4. \forall x\in\mathbb{R},\, \operatorname{ch}\,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{x^{2\,n}}{(2\,n)!}}.

  5. \forall x\in\mathbb{R},\, \operatorname{sh}\,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{x^{2\,n+1}}{(2\,n+1)!}}.

  6. \forall x\in D(0,1),\, {1\over{1-x}}=\sum_{n=0}^{+{\infty}}{x^n}.

  7. \forall x\in]-1,1],\, \ln (1+x)=\sum_{n=1}^{+{\infty}}(-1)^{n-1}{x^{n}\over{n}}.

  8. \forall x\in[-1,1],\, \operatorname{Arctan} \,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}(-1)^n\,{\frac{x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}\;, et en particulier, \pi=4\,\sum_{n=0}^{+{\infty}}{\frac{(-1)^{n}}{2\,n+1}}.

  9. \forall x\in\,]-1,1[,\ \forall \alpha\,\not\in\, \mathbb{N},\, (1+x)^\alpha \,=1\;+\;\sum_{n=1}^{+{\infty}}{\frac{\alpha\,(\alpha-1)\ldots(\alpha-n+1)}{n!}\,x^n}.

  10. \forall x\in\mathbb{R},\, \forall \alpha\,\in\, \mathbb{N},\, (1+x)^\alpha \,=1\;+\;\sum_{n=1}^{+{\infty}}{\frac{\alpha\,(\alpha-1)\ldots(\alpha-n+1)}{n!}\,x^n}=\sum_{n=0}^{\alpha}{{\alpha \choose n}\, x^n}.

  11. \forall x\in]-1,1[,\, \operatorname{Argth} \,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}\,{\frac{x^{2\,n+1}}{2\,n+1}}.

  12. \forall x\in]-1,1[,\, \operatorname{Arcsin} \,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}\,a_n\,{\frac{x^{2\,n+1}}{2\,n+1}} \quad \text{avec}\; a_n=\left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{si }n\mbox{ est nul} \\ \left({\frac{\prod_{k=1}^{n}\,(2\,k-1)}{\prod_{k=1}^{n}\,2\,k}}\right), & \mbox{sinon} \end{matrix}\right.

  13. \forall x\in]-1,1[,\, \operatorname{Argsh} \,x=\sum_{n=0}^{+{\infty}}\,(-1)^n\,a_n\,{\frac{x^{2\,n+1}}{2\,n+1}} \quad \mathrm{avec}\; a_n=\left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{si }n\mbox{ est nul} \\ \left({\frac{\prod_{k=1}^{n}\,(2\,k-1)}{\prod_{k=1}^{n}\,2\,k}}\right), & \mbox{sinon} \end{matrix}\right.
    Remarque : on peut aussi écrire a_n={{{2\,n}\choose n}\over{4^n}}={{(2\,n)!}\over{(n!\,2^n)^2}}={1.3\ldots (2\,n-1)\over{2.4\ldots(2\,n)}}

  14. \forall x\in\, \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[,\, \tan x= \frac{2}{\pi}\, \sum_{n=0}^{+{\infty}}\,{\left({\frac{x}{\pi}}\right)}^{2\,n+1}(2^{2\,n+2}-1)\;\zeta (2\,n+2)\quad \text{avec}\; \forall p>1,\,\zeta(p)=\sum_{n=1}^{+{\infty}}\,\frac{1}{n^p} (fonction zêta de Riemann, dont on connaît, pour tout p entier pair - non nul - une expression explicite sous forme du produit d'un rationnel par une puissance paire de π).

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Formulaire de développement en série entière de Wikipédia en français (auteurs)

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