Domaine effectif

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En mathématiques, et plus précisément en analyse convexe, le domaine effectif d'une fonction à valeurs dans la droite réelle achevée $\bar{\R}$ est l'ensemble des points où elle ne prend pas la valeur $+\infty$.

Définition

Le domaine effectif (ou simplement domaine) d'une fonction $f:\mathbb{E}\to\bar{\R}:=\R\cup\{-\infty,+\infty\}$, définie sur un ensemble $\mathbb{E}$, est l'ensemble des points où elle ne prend pas la valeur $+\infty$ (elle peut y prendre la valeur $-\infty$ cependant). On le note le plus souvent

$\operatorname{dom}\,f:=\{x\in \mathbb{E}:f(x)<+\infty\}.$

Propriété

Domaine d'une fonction convexe — Soient $\mathbb{E}$ un espace vectoriel et $f:\mathbb{E}\to\bar{\R}$ une fonction convexe. Alors le domaine de f est convexe.

On notera cependant que le domaine d'une fonction convexe fermée n'est pas nécessairement fermé. Par exemple la fonction log-barrière

$\operatorname{l\!b}:x\in\R\mapsto \operatorname{l\!b}(x)= \left\{\begin{array}{ll} -\log x & \mbox{si}~ x>0 \\ +\infty & \mbox{sinon.} \end{array}\right.$

est convexe fermée, mais son domaine effectif $\R_{++}$ n'est pas fermé dans $\R$.

Bibliographie

• (en) J. M. Borwein, A. S. Lewis (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer, New York.
• (en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal (2001). Fundamentals of Convex Analysis. Springer. ISBN 3-540-42205-6.
• (en) R.T. Rockafellar (1970). Convex Analysis. Princeton Mathematics Ser. 28. Princeton University Press, Princeton, New Jersey.