Cône tangent

En mathématiques, le cône tangent est l'approximation au premier ordre d'un ensemble en un point, comme l'application dérivée d'une fonction est son approximation au premier ordre en un point. Cette notion est, par exemple, utilisée en optimisation pour établir les conditions d'optimalité du premier ordre.

Notations

On note $\mathbb{R}$ l'ensemble des nombres réels, tandis que l'ensemble des nombres réels positifs et celui des nombres réels strictement positifs sont respectivement notés

$\mathbb{R}_+:=\{t\in\mathbb{R}:t\geqslant 0\}\qquad\mbox{et}\qquad \mathbb{R}_{++}:=\{t\in\mathbb{R}:t>0\}.$

Si $\Lambda\subset\mathbb{R}$ et P est une partie d'un espace vectoriel $\mathbb{E}$ sur $\mathbb{R}$, on note

$\Lambda P:=\{\lambda x:\lambda\in\Lambda, x\in P\}.$

Lorsque $x\in\mathbb{E}$, on utilise la notation simpifiée Λx: = Λ{x}.

Une partie K d'un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$ est un cône si $\mathbb{R}_{++}K\subset K$.

Cône radial

Soient $\mathbb{E}$ un espace vectoriel sur $\mathbb{R},$ X une partie de $\mathbb{E}$ et x un point de $\mathbb{E}$.

Cône radial — Le cône radial de X en $x\in\mathbb{E}$ est le cône défini par

$T_x^rX:=\{d\in\mathbb{E}:x+td\in X$ pour tout réel t > 0 petit}.

Cônes tangent et normal au sens de Bouligand

Cône tangent

Soient $\mathbb{E}$ un espace vectoriel topologique sur $\mathbb{R}$, X une partie de $\mathbb{E}$ et x un point de $\mathbb{E}$.

Comme pour le calcul de la dérivée d'une fonction, le calcul des directions tangentes qui sont les éléments du cône tangent requiert un passage à la limite. Il n'est pas satisfaisant en effet de prendre le cône radial comme cône tangent à X en x. En effet, le cône radial à un cercle de $\mathbb{R}^2$ est vide en tout point, si bien que l'on ne retrouve pas avec cette notion, celle des directions tangentes qui nous est familière. Une possibilité est de s'y prendre comme suit. La notation $t_k \downarrow 0$ signifie que les réels t_k tendent vers zéro par des valeurs strictement positives.

Direction tangente au sens de Bouligand — On dit que $d\in\mathbb{E}$ est une direction tangente (au sens de Bouligand^[1]) à $X\subset\mathbb{E}$ en $x\in\mathbb{E}$ s'il existe des suites $\{x_k\} \subset\mathbb{E}$ et $\{t_k\} \subset\mathbb{R}$ telles que

$\{x_k\} \subset X,\qquad t_k \downarrow 0\qquad\mbox{et}\qquad\frac{x_k - x}{t_k}\to d.$

Cône tangent au sens de Bouligand — Le cône tangent (au sens de Bouligand) à $X\subset\mathbb{E}$ en $x\in\mathbb{E}$ est l'ensemble des directions tangentes (au sens de Bouligand) à X en x. On le note T_xX (notation de la géométrie différentielle) ou T_X(x) (notation de l'analyse convexe).

La définition de direction tangente précédente est la plus opérationnelle, celle qui est la plus utilisée, mais elle n'est pas facile à interpréter. En faisant jouer le rôle principal aux directions d_k: = (x_k − x) / t_k, on montre aisément qu'il revient au même de dire que $d\in T_xX$ si, et seulement si, il existe des suites $\{d_k\}\subset\mathbb{E}$ et $\{t_k\}\subset\mathbb{R}$ telles que

$d_k \to d, \qquad t_k \downarrow 0\qquad \mbox{et}\qquad x+t_kd_k\in X.$

Autrement dit, d est tangente à X en x s'il existe une suite de directions $d_k\subset\mathbb{E}$ convergeant vers d, telles que $x+\mathbb{R}_{++}d_k$ rencontre X en des points de plus en plus proche de x lorsque $k\to\infty$.

Cône normal

Pour définir le cône normal, on a besoin d'un produit scalaire sur $\mathbb{E}$. On suppose donc que $\mathbb{E}$ est un espace hilbertien et on note $\langle\cdot,\cdot\rangle$ son produit scalaire.

Vecteur normal, cône normal — On dit que $p\in \mathbb{E}$ est normal à $X\subset\mathbb{E}$ en $x\in X$ si

$\forall d\in T_xX\,:\quad \langle p,d\rangle\leqslant 0.$

On note N_xX ou N_X(x) l'ensemble des vecteurs normaux à X en x et on l'appelle le cône normal.

Le cône normal est donc le cône dual négatif du cône tangent : N_xX = (T_xX) ⁻ . Par conséquent, il s'agit d'un cône convexe fermé (on verra que le cône tangent n'est pas, quant à lui, nécessairement convexe).

Pour un ensemble convexe, le cône normal est en généralement défini de manière différente, mais équivalente.

Cône normal à un convexe — Si C est un convexe de $\mathbb{E}$ son cône normal en $x\in C$ peut aussi s'écrire

$N_C(x) =\{d\in\mathbb{E}:\langle d,y-x\rangle\leqslant 0,~\forall\, y\in C\}.$

Par ailleurs, pour un ensemble convexe dans un espace euclidien (donc de dimension finie), le cône normal en un point de la frontière relative n'est pas réduit à l'élément nul. Ci-dessous, la frontière relative de l'ensemble C est notée $\partial_{\rm rel}C$.

Cône normal à un convexe — Soient C est un convexe d'un espace euclidien $\mathbb{E},$ $x\in C\cap\partial_{\rm rel}C$ et $\mathbb{E}_0:=\operatorname{aff}(C)-\operatorname{aff}(C)$ le sous-espace vectoriel associé à l'enveloppe affine $\operatorname{aff}(C)$ de C. Alors, $N_C(x)\cap\mathbb{E}_0$ contient un élément non nul.

Propriétés

Voici quelques propriétés du cône tangent, que nous donnons dans le cas où $\mathbb{E}$ est de dimension finie. Elles utilisent les notations et concepts suivants :

• $\overline{X}$ l'adhérence de X (aussi notée $\operatorname{adh}X$),
• $X^\circ$ l'intérieur de X (aussi noté $\operatorname{int}\,X$),
• $\operatorname{aff}\,X$ l'enveloppe affine de X,
• $\operatorname{intr}\,X$ l'intérieur relatif de X (aussi noté $\operatorname{ri}\,X$).

On rappelle que $\operatorname{aff}\,X-\operatorname{aff}\,X$ est le sous-espace vectoriel associé au sous-espace affine $\operatorname{aff}\,X$.

Propriétés du cône tangent —  Soient $\mathbb{E}$ un espace vectoriel de dimension finie, X une partie de $\mathbb{E}$ et $x\in\mathbb{E}$.

1. T_xX est un cône fermé (non nécessairement convexe),
2. T_xX est vide si $x\notin \overline{X}$,
3. $T_xX=\mathbb{E}$ si $x\in X^\circ$,
4. $T_xX=\operatorname{aff}\,X-\operatorname{aff}\,X$ si $x\in \operatorname{intr}\,X$,
5. si $\{X_i\}_{i\in I}$ est une famille de parties X_i de $\mathbb{E}$, on a
   1. $T_x(\cap_{i\in I}X_i)\subset \cap_{i\in I}T_xX_i$,
   2. $T_x(\cup_{i\in I}X_i)\supset \cup_{i\in I}T_xX_i$, avec égalité si I est fini.

Dans le cas où l'ensemble est convexe, on peut relier le cône radial au cône tangent et donner quelques propriétés supplémentaires de ce dernier.

Cône tangent à un ensemble convexe — Soit x un point dans l'adhérence d'un convexe C d'un espace vectoriel de dimension finie $\mathbb{E}.$ Alors

1. $T_x^rC=\mathbb{R}_{++}(C-x)$ et est convexe,
2. $T_xC=\overline{T_x^rC}$,
3. T_xC est convexe,
4. $\operatorname{aff}\,(T_xC)=\operatorname{aff}\,(T^r_xC)=(\operatorname{aff}\,C)-x$.

Si X n'est pas convexe, T_xX n'est pas nécessairement convexe, comme le montre l'exemple suivant :

$X:=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2:x_1^2-x_2^2\geqslant 0\}.$

En effet, T₀X = X, qui n'est pas convexe.

Exemples

Polyèdre convexe

Soit P un polyèdre convexe de $\mathbb{R}^n$, que l'on suppose donné comme une intersection d'un nombre fini de demi-espaces :

$P:=\{x\in\mathbb{R}^n:Ax\leqslant b\},$

où A est une matrice de type $m\times n,$ $b\in\mathbb{R}^m$ et l'inégalité est entendue composante par composante : $(Ax)_i\leqslant b_i$ pour tout $i\in\{1,\ldots,m\}.$ On note pour un point $x\in P$ :

$I(x):=\{i\in\mathbb{N}:1\leqslant i\leqslant m,~(Ax-b)_i=0\}.$

Alors les cônes tangent et normal en $x\in P$ s'écrivent

$T_xP=T^r_xP=\{d\in\mathbb{R}^n:(Ad)_{I(x)}\leqslant 0\},$ $N_xP=\operatorname{cone}\,\{A_i^{\!\top\!}:i\in I(x)\},$

où $A_i^{\!\top\!}\in\mathbb{R}^n$ est le vecteur formé par la ligne i de A et "$\operatorname{cone}$" désigne l'opérateur qui prend l'enveloppe conique-convexe d'un ensemble (le plus petit cône convexe contenant l'ensemble).

Cône des matrices semi-définies positives

On note $\mathbb{S}^n$ l'ensemble des matrices symétriques d'ordre n dont les éléments sont réels, $\mathbb{S}^n_+$ le cône de $\mathbb{S}^n$ formé des matrices semi-définies positives et $\mathbb{S}^n_-=-\mathbb{S}^n_+$ le cône de $\mathbb{S}^n$ formé des matrices semi-définies négatives. L'espace vectoriel $\mathbb{S}^n$ est muni du produit scalaire

$(A,B)\in\mathbb{S}^n\times\mathbb{S}^n\mapsto\langle A,B\rangle=\operatorname{tr}(AB),$

où $\operatorname{tr}$ désigne la trace. On note $\mathcal{N}(A)$ le noyau de $A\in\mathbb{S}^n$.

Les cônes tangent et normal à $\mathbb{S}^n_+$ en $A\in\mathbb{S}^n_+$ s'écrivent

$T_A\mathbb{S}^n_+=\{D\in\mathbb{S}^n:v^{\!\top\!} Dv\geqslant 0$, pour tout $v\in\mathcal{N}(A)\},$ $N_A\mathbb{S}^n_+=\{N\in\mathbb{S}^n_-:\langle A,N\rangle=0\}=\mathbb{S}^n_-\cap(\mathbb{R}\,A)^\perp.$

Qualification de contraintes

Un ensemble peut être représenté au moyen de fonctions. Par exemple, on peut utiliser des contraintes d'égalité et d'inégalité comme ci-dessous

$X=\{x\in \mathbb{E}:c_E(x)=0, c_I(x)\leqslant 0\},$

où les contraintes d'égalité sont définies au moyen de la fonction $c_E:\mathbb{E}\to\mathbb{R}^{m_E}$ et les contraintes d'inégalité sont définies au moyen de la fonction $c_I:\mathbb{E}\to\mathbb{R}^{m_I}$. L'inégalité vectorielle $c_I(x)\leqslant 0$ doit ici être entendue composante par composante. On note E l'ensemble des indices des contraintes d'égalité, qui s'écrivent donc aussi c_i(x) = 0 pour tout indice $i\in E$. De même pour l'ensemble I des contraintes d'inégalité.

Se pose alors la question de savoir calculer le cône tangent en un point x à partir des dérivées premières des fonctions c_E et c_I en x.

Il est naturel de s'intéresser à l'expression suivante obtenue en linéarisant les fonctions c_E et c_I en x :

$T'_xX:=\{d \in \mathbb{E} : c'_E(x)\cdot d = 0, \; c'_{I^0(x)} (x) \cdot d \leqslant 0\},$

où on a noté

$I^0(x) := \{i \in I : c_i (x) = 0\}.$

On peut montrer que, sous des hypothèses raisonnables, on a toujours

$T_xX\subset T'_xX.$

On aimerait avoir égalité pour pouvoir calculer le cône tangent par une formule explicite, mais cette égalité n'est pas toujours vérifiée. On dit que les contraintes (on devrait dire les fonctions définissant les contraintes) c_E et c_I sont qualifiées en x si T_xX = T'_xX. Comme T_xX ne dépendant que de l'ensemble X, pas des fonctions c_E et c_I, il s'agit d'une notion assurant que la représentation de X par c_E et c_I convient.

Ces questions sont davantage développées dans l'article Qualification de contraintes.

Annexes

Notes

1. ↑ G. Bouligand (1932), Introduction à la Géométrie Infinitésimale Directe, Gauthier- Villars, Paris.

Articles connexes

• Conditions d'optimalité (dimension finie) où le cône tangent est utilisé pour établir les conditions d'optimalité du premier ordre des problèmes d'optimisation de dimension finie.
• Qualification de contraintes

Lien externe

• J. Ch. Gilbert, Éléments d'Optimisation Différentiable — Théorie et Algorithmes, syllabus de cours à l'ENSTA ParisTech, Paris.

Bibliographie

• (en) J. F. Bonnans, A. Shapiro (2000). Perturbation Analysis of Optimization Problems. Springer Verlag, New York.
• J.-B. Hiriart-Urruty (1996). L’Optimisation. Que sais-je, n° 3184. Presses Universitaires de France.
• (en) J.-B. Hiriart-Urruty, C. Lemaréchal (1993). Convex Analysis and Minimization Algorithms. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 305-306. Springer-Verlag.
• (en) R. T. Rockafellar (1993). Lagrange multipliers and optimality. SIAM Review, 35, 183– 238.