Conjecture de Bieberbach

La conjecture de Bieberbach était une conjecture mathématique qui exprime que toute fonction entière f injective dans le disque unité et s'écrivant

$f(z)=\sum_{n=0}^\infty {a_n z^n}$

avait des coefficients satisfaisant à l'inégalité

$|a_n| \le n|a_1|$.

Cette conjecture, énoncée en 1916, a été démontrée par Louis de Branges de Bourcia en 1985.

On définit habituellement la classe S des fonctions f injectives dans le disque unité telles que a₀ = 0 et a₁ = 1. Ces fonctions sont dites "slicht". La conjecture de Bieberbach s'énonce alors sous la forme $|a_n| \le n$.

Le cas particulier n=2 a été démontré par Bieberbach. Ce résultat est lié au théorème de l'aire, et implique le théorème de Koebe : pour toute fonction de S, l'image du disque unité contient le disque de centre 0 et de rayon 1/4.

Avant la démonstration générale de la conjecture de Bieberbach, on connaissait plusieurs cas particuliers, et l'inégalité de Littlewood

$|a_n| \le en|a_1|$.

Louis de Branges démontra en fait plus que la conjecture de Bieberbach, il démontra la conjecture plus forte de Milin (1971) qui l'impliquait.

Bibliographie

• Joseph Oesterlé, Démonstration de la conjecture de Bieberbach, Séminaire Bourbaki, 27 (1984-1985), Exposé No. 649, p. 319-334
• (en) Peter L. Duren, Univalent functions, Springer, coll. « Grundlehren der math. Wiss. » (n^o 259), 1983 (ISBN 978-0-387-90795-6) 
• (en) Paul Zorn, « The Bieberbach Conjecture », dans Mathematics Magazine, vol. 59, n^o 3, juin 1986, p. 131-148