Boule (topologie)

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En topologie, une boule est un type de voisinage particulier dans un espace métrique. Le nom évoque, à juste titre la boule solide dans l'espace usuel à trois dimensions, mais la notion se généralise entre autres à des espaces de dimension plus grande (ou plus petite) ou encore de norme non euclidienne. Dans ce cas, une boule peut ne pas être ronde au sens usuel du terme.

Définition générale

Dans l'espace usuel comme dans n'importe quel espace métrique (E,d),

• la boule fermée centrée en un point $P\,$ et de rayon réel $r\,$ est l'ensemble $B'(P,r)\,$ des points dont la distance à $P\,$ est inférieure ou égale à $r\,$ :

$\mathcal B'(P,r):=\left\{M\in E\,\mid\,d(M,P)\leq r\right\}~,$

• la boule ouverte correspondante est l'ensemble $B(P,r)\,$ des points dont la distance à $P\,$ est strictement inférieure à $r\,$ :

$\mathcal B(P,r):=\left\{M\in E\,\mid\,d(M,P)<r\right\}~.$

Dans un espace vectoriel normé, la boule unité ouverte est la boule ouverte $B(0,1)\,$ centrée à l'origine et de rayon 1 (de même, la boule unité fermée est la boule fermée $B'(0,1)\,$).

Les boules d'un plan euclidien sont aussi appelées des disques.

Propriétés

• Une boule ouverte est toujours un ouvert de l'espace métrique dans lequel elle est définie. De même, une boule fermée est toujours un fermé.
• Une boule ouverte de rayon strictement positif est d'intérieur non vide (puisque cet intérieur est la boule elle-même).
• Toutes les boules d'un espace métrique sont des parties bornées.
• Dans un espace vectoriel normé, toutes les boules ouvertes (resp. fermées) de rayons strictement positifs sont semblables par translation et homothétie, et toute boule est symétrique par rapport à son centre.
• Dans un espace vectoriel réel normé, les boules sont convexes.
• Dans un espace vectoriel réel normé, la boule ouverte est l'intérieur de la boule fermée correspondante, et la boule fermée est l'adhérence de la boule ouverte. Dans un espace métrique quelconque on a seulement :

$\overline{B(P,r)}\subset\overline{B'(P,r)}=B'(P,r)\qquad{\rm et}\qquad\mathrm{Int}(B'(P,r))\supset\mathrm{Int}(B(P,r))=B(P,r).$

Exemples de boules exotiques

• Dans l'espace réel à trois dimensions muni de la norme infini, les boules ont une forme cubique avec des faces parallèles aux axes.
• Dans l'ensemble des entiers muni de la distance usuelle (valeur absolue de la différence), une boule ouverte de rayon 1 ne contient que son centre ; c'est donc un fermé. Inversement, une boule fermée de rayon 1 contient trois points (le centre et les deux entiers adjacents) et c'est un ouvert^[1].

$d((u_n),\,(v_n))= \frac{1}{1+\inf\{n \in \N\colon u_n \neq v_n\}}$

Exemple de distance ultramétrique sur l'ensemble des suites d'entiers

• Dans un espace muni d'une distance ultramétrique, les boules sont à la fois ouvertes et fermées, tout point d'une boule en est un centre et si deux boules se rencontrent, l'une est contenue dans l'autre. De tels espaces se rencontrent en analyse p-adique mais aussi dans des situations plus élémentaires : sur l'ensemble des suites d'entiers, il suffit de définir la distance entre deux suites par l'inverse du plus petit rang où les termes diffèrent.

Utilisation

• Une partie d'un espace métrique est bornée si et seulement si elle est contenue dans une boule.
• Une partie d'un espace métrique est ouverte si et seulement si elle est la réunion des boules ouvertes qu'elle contient.
• Les boules (ouvertes ou fermées) de même centre et de rayons strictement positifs forment un système fondamental de voisinages de ce centre. En se limitant à une suite de rayons arbitrairement petits on obtient même un système fondamental dénombrable de voisinages.
• Le théorème de compacité de Riesz énonce qu'un espace vectoriel réel normé est de dimension finie si et seulement si sa boule fermée unité est compacte.

Notes et références

1. ↑ Puisque dans cet espace les singletons sont ouverts, l'espace est discret : toutes ses parties sont simultanément ouvertes et fermées.