Analyse de survie


Analyse de survie

L'Analyse de survie est une branche des Statistiques qui traite de la mort d'organismes biologiques et de l'échec dans les systèmes mécaniques. Ce thème est nommée Théorie de la fiabilité ou Analyse de la fiabilité dans l'ingénierie, et analyse de la durée ou modélisation de la durée en économie ou en sociologie. Plus généralement, l'analyse de survie implique la modélisation du temps dans les données des événements; dans ce contexte, la mort ou l'échec est considéré comme un "événement" dans la littérature de l'analyse de survie. De nombreux concepts en analyse de survie ont été expliqués par la Théorie des processus de dépouillement, qui est apparue plus récemment. La flexibilité d'un processus de dépouillement réside dans ce qu'il permet de modéliser des évènements multiples (ou récurrents). Ce type de modélisation convient très bien à de nombreuses situations (par exemple : des personnes peuvent aller en prison plusieurs fois, les personnes alcooliques peuvent commencer à boire et s'arrêter plusieurs fois, et certaines personnes peuvent se marier et divorcer plusieurs fois).

Sommaire

Formulation Générale

Fonction de survie

La Fonction de survie ( « Survival function » ), notée S par convention, est définie par :

S(t) = Pr(T > t)

t est la variable temps, T est une variable aléatoire symbolisant le moment du décès, et "Pr" est la fonction probabilité. La fonction de survie est égale à la probabilité que le décès intervienne après un temps t donné.

Fonction de distribution de longévité et densité d'évènement

La fonction de distribution de longévité, notée F, est définie en complément de la fonction de survie,

F(t) = \Pr(T \le t) = 1 - S(t)

La fonction dérivée de F, qui est la fonction densité de la distribution de longévité, est notée conventionnellement f,

f(t) = F'(t) = \frac{d}{dt} F(t).

La fonction f est quelquefois appelée la densité évènement; c'est le taux de mortalité ou d'évènements en échec par unité de temps. La fonction de survie est aussi définie en termes de distribution et de fonction de densité.

S(t) = \Pr(T > t) = \int_t^{\infty} f(u)\,du = 1-F(t).

De manière similaire, une fonction de densité d'évènement de survie peut être définie par :

s(t) = S'(t) = \frac{d}{dt} S(t) = \frac{d}{dt} \int_t^{\infty} f(u)\,du = \frac{d}{dt} [1-F(t)] = -f(t).

Fonction d'aléa et fonction d'aléa cumulative

Le taux de défaillance, ou fonction d'aléa, noté λ par convention, est défini comme le taux d'évènements (décès, échec,..) au temps t connaissant la probabilité de survie, de réussite au temps t ou au delà,

\lambda(t)\,dt = \Pr(t \leq T < t+dt\,|\,T \geq t) = \frac{f(t)\,dt}{S(t)} = -\frac{S'(t)\,dt}{S(t)}.

La force de mortalité est un synonyme de Fonction d'aléa qui est utilisée particulièrement en démographie et science actuarielle, où elle est notée μ. Le terme Taux de d'aléa est un autre synonyme.

La fonction d'aléa doit être positive ou nulle, λ(t) ≥ 0, et son intégrale sur [0, \infty] est infinie, mais n'a pas d'autres contraintes; elle peut croître, décroître, être non-monotone, non continue. Un exemple est celui de la fonction de la courbe de la baignoire, qui est grande pour des petites valeurs de t, décroit jusqu'à un minimum, et croit à nouveau; elle peut modéliser la propriété de quelques systèmes mécaniques de tomber en panne peu de temps après être entré en service, ou bien longtemps après alors que le système a vieilli.

Quantités dérivées de la fonction de distribution de longévité

Distributions utilisées

Voir aussi

Notes

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article en anglais intitulé « Survival analysis » (voir la liste des auteurs)

Liens internes

  • Estimateur de Kaplan-Meier
  • Taux de Survie
  • Théorie de la fiabilité
  • Modèles aléatoires proportionels
  • Taux d'échec

Liens externes

Références

  • Portail des probabilités et des statistiques Portail des probabilités et des statistiques

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