Algèbre de Toeplitz

En théorie des algèbres d'opérateurs, l'algèbre de Toeplitz $\mathcal T$ est la C*-algèbre universelle engendrée par une isométrie S non unitaire. En clair, ce générateur vérifie :

$S^*S=1\qquad\text{mais}\qquad SS^*\ne1.$

Si on définit l'élément P de cette algèbre par P: = 1 − SS ^* , on obtient, comme pour toute isométrie, les relations :

$PS=0\qquad\text{et}\qquad S^*P=0.$

Réalisation concrète

Considérons l'espace de Hilbert $\mathcal H:=l^2(\N)$. On peut définir l'opérateur de décalage (en) (shift en anglais) S sur $\mathcal H$ en posant : Se_n = e_{n + 1}. La sous-algèbre involutive normiquement fermée des opérateurs bornés sur $\mathcal H$ engendrée par S est une réalisation de l'algèbre de Toeplitz $\mathcal T$.

Suite exacte courte

L'algèbre $\mathbb{K}$ des opérateurs compacts peut se réaliser dans $\mathcal T$ grâce à l'injection $\iota \colon e_{i,j} \mapsto (S^*)^i P S^j$ ($i,j\in\N$). On obtient en fait une suite exacte courte de C*-algèbres :

$0\to\mathbb{K}\to\mathcal T\to C(\mathbb{T})\to0$

où $C(\mathbb{T})$ est l'algèbre de fonctions continues sur le cercle unité $\mathbb{T}$ et le morphisme de $\mathcal T$ dans $C(\mathbb{T})$ est celui qui à S associe le générateur $z\mapsto z$ de $C(\mathbb{T})$.

K-théorie

La K-théorie de cette algèbre est :

$K_0(\mathcal T)=\Z\qquad\text{et}\qquad K_1(\mathcal T)=0.$

Références

• (en) M. Rørdam, F. Larsen et N. Lausten, An Introduction to K-Theory for C*-Algebras, CUP, 2000 [lire en ligne], p. 167-168 
• (en) N. E. Wegge-Olsen, K-theory and C*-algebras, Oxford Science Publications, 1993