Algèbre babylonienne

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L'algèbre babylonienne est l'ensemble des techniques et des raisonnements numériques utilisés dans l'ancienne Mésopotamie dans le but de résoudre des problèmes.

Nombres et représentation

Article détaillé : numération mésopotamienne.

Les mésopotamiens utilisaient différentes numérations, suivant le contexte. Cependant, pour les calculs, seul le système sexagésimal était utilisé. Le système sexagésimal mêle les numérations en base dix et soixante, ce qui le rend particulièrement efficace pour noter les fractions usuelles ¹⁄₂ à ¹⁄₆, ainsi que ¹⁄₁₀ et ¹⁄₁₂. Cette notation utilisée pour résoudre les problèmes ignorait les ordres de grandeurs, une écriture désignait un nombre à une puissance de 60 près. Ainsi, (trois chevrons, chacun représentant le nombre dix) pouvait aussi bien désigner le nombre 30, que 30×60 ou encore ³⁰⁄₆₀, soit ¹⁄₂.

Opérations

Les opération algébriques classiques sont au nombre de cinq : addition, soustraction, multiplication, division et extraction de la racine carrée. En Mésopotamie, elles étaient plus nombreuses : il existait par exemple deux opérations correspondant à l'addition, deux à la soustraction et quatre à la multiplication. Des opérations étaient nommées différemment, bien que donnant le même résultat, car leurs interprétations géométriques étaient différentes.

Addition

Il existait deux additions : l'« ajout » et l'« empilement ».

L'ajout : à un nombre, on adjoint un autre qui vient se fondre dans le premier.

L'empilement consiste à « empiler » deux nombres pour en constituer un troisième.

Soustraction

Deux opérations soustractives étaient :

• l'action d'« arracher » ou « ôter » : A - B = C est interprété comme « j'arrache B de A, il reste C » ;
• le constat qu'un nombre est plus grand qu'un autre : si A - B = C, c'est que A excède B de C.

Multiplication

Quatre opérations correspondaient à une multiplication.

Répétition d'un nombre

Une opération multiplicative correspondait à répéter une addition. Ainsi, 3×6 pouvait, comme le « trois fois six » en français, correspondre au nombre 6 répété trois fois. Une telle opération serait notée 6+6+6 et peut être traduite par « trois pas de six ». Cette opération pouvait être utilisée pour des multiplications abstraites de deux nombres.

Faire tenir deux segments

Pour deux longueurs 3 et 6, « faire tenir 3 et 6 » signifiait : imaginer la construction d'un rectangle de côtés 3 et 6, puis considérer son aire. Le résultat correspond à 3×6.

Élever

Le volume d'un prisme est égal au produit de l'aire de sa base par sa hauteur. Les mésopotamiens connaissaient se résultat et s'en servaient : élever 3 et 6 revenait à considérer un volume de base 3 et de hauteur 6.

Répétition physique

Pour un petit nombre entier n, la « répétition physique » n fois d'une grandeur A consiste à imaginer qu'on double ou triple l'objet correspondant à la grandeur A. Par exemple, pour doubler l'aire d'un triangle rectangle, on imagine qu'on a affaire à deux triangles isométriques identiques au triangle de départ. Il est alors possible d'accoler ces deux triangles par leur hypoténuse pour obtenir un rectangle.

Division, inverse

Les babyloniens n'utilisaient pas directement la division. Le calcul de ^A⁄_B correspondait à la résolution du problème « trouver C pour que B×C=A ». Pour cela, ils utilisaient des tables donnant les inverses des nombres usuels, en considérant que ^A⁄_B=A×¹⁄_B. De nombreuses tablettes d'argile comportant de telles tables d'inverse ont été retrouvées.

Racine carrée

Les racines carrées étaient obtenues partir de la lecture inverse de tables comportant des carrés. Pour celles qui n'apparaissaient pas dans les tables, une méthode d'interpolation était utilisée afin d'obtenir une valeur approchée.

Résolution de problèmes

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Sources et références

Bibliographie

• (en) Otto Neugebauer, The Exact Sciences in Antiquity, Providence, Brown University Press, 1957 (réimpr. 1969), 240 p. (ISBN 0486223329) 
• Jens Høyrup, L'algèbre au temps de Babylone, Vuibert/Adapt, coll. « Inflexions », août 2010, 162 p. (ISBN 9782356560162) 

Notes