Arc cosinus

Représentation graphique

En mathématiques, l’arc cosinus d'un nombre réel compris entre −1 et 1 est l'unique mesure d'angle dont le cosinus vaut ce nombre, entre l'angle nul et l'angle plat.

La fonction qui associe à tout nombre réel entre −1 et 1 la valeur de son arc cosinus en radians est en général notée^[1] Arc cos en notation française (bien que la norme ISO 31-11 recommande la notation arccos), et cos⁻¹, parfois acos ou acs, en notation anglo-saxonne. Il s'agit alors de la réciproque de la fonction trigonométrique cosinus sur l'intervalle [0 ; π].

Dérivée

Comme dérivée d'une fonction réciproque, Arccos est dérivable sur ]-1,1[ et vérifie

$\mathrm{Arccos}' x = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$

Cette formule s'obtient grâce au théorème sur la dérivée d'une fonction réciproque.

Forme intégrale indéfinie

Cette fonction peut s'écrire sous la forme d'une intégrale indéfinie :

$\mathrm{Arccos}(x) = \int_1^x-\frac{1}{\sqrt{1 - t^{2}}}dt$

Primitives

Les primitives de l'arc cosinus s'obtiennent par intégration par parties

$\int \mathrm{Arccos}(x) \,dx = x\, \mathrm{Arccos}(x) - \sqrt{1-x^2} + C$

Relation entre Arc cosinus et Arc sinus

$\mathrm{Arccos}(x) + \mathrm{Arcsin}(x) = \frac{\pi}{2}$

Preuve par la dérivée

Soit f la fonction qui à x dans [-1,1] associe Arccos(x) + Arcsin(x). Sa dérivée est nulle :

$\forall x \in [-1,1], f'(x) = \mathrm{Arccos}'(x) + \mathrm{Arcsin}'(x) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 0$

Donc f est constante sur son ensemble de définition. Donc :

$\forall x \in [-1,1], f(x)=f(0)=\mathrm{Arccos}(0) + \mathrm{Arcsin}(0)=\frac{\pi}{2}+0=\frac{\pi}{2}$

Preuve trigonométrique

Pour tout x dans [-1,1], on pose $\alpha = \frac{\pi}{2} - \mathrm{Arccos}(x)$.

On calcule $\sin(\alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - \mathrm{Arccos}(x)) = cos( \mathrm{Arccos}(x)) = x$.

Or $\mathrm{Arccos}(x) \in [0,\pi]$ donc $\alpha \in \left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} \right]$.

Donc α = Arcsin(x).

Donc $\mathrm{Arccos}(x) + \mathrm{Arcsin}(x) = \frac{\pi}{2} - \alpha + \alpha = \frac{\pi}{2}$

 

Arccos(x) (bleu) et Arcsin(x) (rouge).

Forme logarithmique

On peut exprimer la fonction arc cosinus avec un logarithme complexe :

$\mathrm{Arccos}(x) = -i\,\ln\left(x+i\,\sqrt{1-x^2}\right) = \frac{\pi}{2}\,+i\ln\left(i\,x+\sqrt{1-x^2}\right) = \frac{\pi}{2}-\mathrm{Arcsin}(x)$

Voir aussi

• Fonctions trigonométriques
• Arc sinus
• Arc tangente

Notes et références

1. ↑ « Exponentielle & logarithme », § Fonctions circulaires réciproques, Dictionnaire de mathématiques – algèbre, analyse, géométrie, Encyclopædia Universalis.