4-polytope uniforme


4-polytope uniforme
Répresentation du 120-cellules rectifié selon son diagramme de Schlegel
Diagramme de Schlegel du 120-cellules rectifié.

Un 4-polytope uniforme est, en géométrie, un 4-polytope isogonal dont les cellules sont des polyèdres uniformes. Il s'agit de l'équivalent de ces derniers en dimension 4.

Sommaire

4-polytopes uniformes convexes

Dénombrement

Si on ne compte pas l'ensemble infini des duoprismes et des hyperprismes antiprismatiques, il existe 64 4-polytopes uniformes convexes :

  • 4-polytopes non-prismatiques :
    • 9 de groupe de Coxeter A4 ;
    • 9 de groupe de Coxeter F4 ;
    • 15 de groupe de Coxeter B4 (dont 3 sont également compris dans la famille précédente) ;
    • 15 de groupe de Coxeter H4
    • 1 forme adoucie spéciale dans le groupe F4 ;
    • 1 4-polytope spécial, le grand antiprisme ;
  • Prismes polyédriques :

Les autres formes convexes sont générées par deux ensembles prismatiques infinis :

  • l'ensemble des hyperprismes antiprismatiques uniformes, prismes polyédriques de deux antiprismes ;
  • l'ensemble des duoprismes uniformes.

A4

Les 4-polytopes uniformes dont le groupe de Coxeter est A4 sont au nombre de 9. Ils sont basés sur le 5-cellules (ou pentachore).

Polytope Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Cellules Faces Segments Sommets
5-cellules {3,3,3} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 5 10 10 5
5-cellules rectifié t1{3,3,3} CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 10 30 30 10
5-cellules tronqué t0,1{3,3,3} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 10 30 40 20
5-cellules biseauté t0,2{3,3,3} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png 20 80 90 30
5-cellules augmenté t0,3{3,3,3} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png 30 70 60 20
5-cellules bitronqué t1,2{3,3,3} CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png 10 40 60 30
5-cellules biseauté-tronqué t0,1,2{3,3,3} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png 20 80 120 60
5-cellules augmenté-tronqué t0,1,3{3,3,3} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png 30 120 150 60
5-cellules omnitronqué t0,1,2,3{3,3,3} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png 30 150 240 120

BC4

Caractéristiques

Les 4-polytopes uniformes dont le groupe de Coxeter est BC4 sont au nombre de 15.

8-cellules

Les 4-polytopes suivants sont basés sur le 8-cellules (ou tesseract).

Polytope Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Cellules Faces Segments Sommets
8-cellules {4,3,3} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 8 24 32 16
8-cellules rectifié t1{4,3,3} CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 24 88 96 32
8-cellules tronqué t0,1{4,3,3} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 24 88 128 64
8-cellules biseauté t0,2{4,3,3} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png 56 248 288 96
8-cellules augmenté
(16-cellules augmenté)
t0,3{4,3,3} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png 80 208 192 64
8-cellules bitronqué
(16-cellules bitronqué)
t1,2{4,3,3} CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png 24 120 192 96
8-cellules biseauté-tronqué t0,1,2{4,3,3} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png 56 248 384 192
8-cellules augmenté-tronqué t0,1,3{4,3,3} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png 80 368 480 192
8-cellules omnitronqué
(16-cellules omnitronqué)
t0,1,2,3{4,3,3} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png 80 464 768 384

16-cellules

Les 4-polytopes suivants sont basés sur le 16-cellules (ou hexadécachore).

Polytope Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Cellules Faces Segments Sommets
16-cellules {3,3,4} CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png 16 32 24 8
16-cellules rectifié
(24-cellules)
t1{3,3,4} CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png 24 96 96 24
16-cellules tronqué t0,1{3,3,4} CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png 24 96 120 48
16-cellules biseauté
(24-cellules rectifié)
t0,2{3,3,4} CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png 48 240 288 96
16-cellules augmenté
(8-cellules augmenté)
t0,3{3,3,4} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png 80 208 192 64
16-cellules bitronqué
(8-cellules bitronqué)
t1,2{3,3,4} CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png 24 120 192 96
16-cellules biseauté-tronqué
(24-cellules tronqué)
t0,1,2{3,3,4} CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png 48 240 384 192
16-cellules augmenté-tronqué t0,1,3{3,3,4} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png 80 368 480 192
16-cellules omnitronqué
(8-cellules omnitronqué)
t0,1,2,3{3,3,4} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png 80 464 768 384

F4

Les 4-polytopes uniformes dont le groupe de Coxeter est F4 sont au nombre de 9. Ils sont basés sur le 24-cellules (ou icositétrachore).

Polytope Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Cellules Faces Segments Sommets
24-cellules
(16-cellules rectifié)
{3,3,4} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 24 96 96 24
24-cellules rectifié
(16-cellules biseauté)
t1{3,3,4} CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 48 240 288 96
24-cellules tronqué
(16-cellules biseauté-tronqué)
t0,1{3,3,4} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 48 240 384 192
24-cellules biseauté t0,2{3,3,4} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png 144 720 864 288
24-cellules augmenté t0,3{3,3,4} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png 240 672 576 144
24-cellules bitronqué t1,2{3,3,4} CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png 48 336 576 288
24-cellules biseauté-tronqué t0,1,2{3,3,4} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png 144 720 1 152 576
24-cellules augmenté-tronqué t0,1,3{3,3,4} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png 240 1 104 1 440 576
24-cellules omnitronqué t0,1,2,3{3,3,4} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png 240 1 392 2 304 1 152
24-cellules biseauté-tronqué alterné
(24-cellules adouci)
h0,1,2{3,3,4} CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 144 480 432 96

H4

Caractéristiques

Les 4-polytopes uniformes dont le groupe de Coxeter est H4 sont au nombre de 15.

120-cellules

Les 4-polytopes suivants sont basés sur le 120-cellules (ou hécatonicosachore).

Polytope Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Cellules Faces Segments Sommets
120-cellules {5,3,3} CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 120 720 1 200 600
120-cellules rectifié t1{5,3,3} CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 720 3 120 3 600 1 200
120-cellules tronqué t0,1{5,3,3} CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 720 3 120 4 800 2 400
120-cellules biseauté t0,2{5,3,3} CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png 1 920 9 120 10 800 3 600
120-cellules augmenté
(600-cellules augmenté)
t0,3{5,3,3} CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png 2 640 7 440 7 200 2 400
120-cellules bitronqué
(600-cellules bitronqué)
t1,2{5,3,3} CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png 720 4 320 7 200 3 600
120-cellules biseauté-tronqué t0,1,2{5,3,3} CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png 1 920 9 120 14 400 7 200
120-cellules augmenté-tronqué t0,1,3{5,3,3} CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png 2 640 13 440 18 000 7 200
120-cellules omnitronqué
(600-cellules omnitronqué)
t0,1,2,3{5,3,3} CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png 2 640 17 040 28 800 14 400

600-cellules

Les 4-polytopes suivants sont basés sur le 600-cellules (ou hexacosichore).

Polytope Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Cellules Faces Segments Sommets
600-cellules {3,3,5} CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png 600 1 200 720 120
600-cellules rectifié t1{3,3,5} CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png 720 3 600 3 600 720
600-cellules tronqué t0,1{3,3,5} CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png 720 3 600 4 320 1 440
600-cellules biseauté t0,2{3,3,5} CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png 1 440 8 640 10 800 3 600
600-cellules augmenté
(120-cellules augmenté)
t0,3{3,3,5} CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png 2 640 7 440 7 200 2 400
600-cellules bitronqué
(120-cellules bitronqué)
t1,2{3,3,5} CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png 720 4 320 7 200 3 600
600-cellules biseauté-tronqué t0,1,2{3,3,5} CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png 1 440 8 640 14 400 7 200
600-cellules augmenté-tronqué t0,1,3{3,3,5} CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png 2 640 13 440 18 000 7 200
600-cellules omnitronqué
(120-cellules omnitronqué)
t0,1,2,3{3,3,5} CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png 2 640 17 040 28 800 14 400

D4

Les 4-polytopes suivants sont basés sur le demitesseract. Ils sont déjà présents dans les autres constructions, mais sont indiqués ici pour mention de leur construction alternative.

Polytope Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Cellules Faces Segments Sommets
Demitesseract
(16-cellules)
{3,3,5} CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png 16 32 24 8
Demitesseract rectifié
(16-cellules tronqué)
t1{3,3,5} CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch 10.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png 48 240 288 96
Demitesseract tronqué
(8-cellules rectifié)
t0,1{3,3,5} CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch 10.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png 24 96 120 48
Demitesseract biseauté
(8-cellules bitronqué)
t0,2{3,3,5} CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png 24 88 96 32
Demitesseract biseauté-tronqué
(24-cellules)
t0,1,2{3,3,5} CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch 10.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png 24 96 96 24
Demitesseract augmenté-biseauté
(16-cellules biseauté)
t0,2,3{3,3,5} CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch 01.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png 24 120 192 96
Demitesseract omnitronqué
(16-cellules biseauté-tronqué)
t0,1,2,3{3,3,5} CDel nodea 1.pngCDel 3a.pngCDel branch 11.pngCDel 3a.pngCDel nodea 1.png 48 240 384 192
Demitesseract adouci
(24-cellules adouci)
s{3,3,5} CDel nodea h.pngCDel 3a.pngCDel branch hh.pngCDel 3a.pngCDel nodea h.png 144 480 432 96

Here again the snub 24-cell represents an alternated truncation of the truncated 24-cell, creating 96 new tetrahedra at the position of the deleted vertices. In contrast to its appearance within former groups as partly snubbed polychoron, only within this symmetry group it has the full analogy to the Kepler snubs, i.e. the snub cube and the snub dodecahedron.

Grand antiprisme

Le grand antiprisme comprend 20 antiprismes pentagonaux formant deux anneaux perpendiculaires, reliés par 300 tétraèdres.

Polytope Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Cellules Faces Segments Sommets
Grand antiprisme aucun aucun 320 720 500 100

Prismes

Annexes

Liens internes

  • 4-polytope régulier
  • 4-polytope semirégulier
  • Duoprisme

Liens externes

Références



Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article 4-polytope uniforme de Wikipédia en français (auteurs)

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