4-polytope uniforme

4-polytope uniforme: Diagramme de Schlegel du 120-cellules rectifié.

Un 4-polytope uniforme est, en géométrie, un 4-polytope isogonal dont les cellules sont des polyèdres uniformes. Il s'agit de l'équivalent de ces derniers en dimension 4.

Sommaire

1 4-polytopes uniformes convexes

1.1 Dénombrement

1.2 A₄

1.3 BC₄

1.3.1 Caractéristiques

1.3.2 8-cellules

1.3.3 16-cellules

1.4 F₄

1.5 H₄

1.5.1 Caractéristiques

1.5.2 120-cellules

1.5.3 600-cellules

1.6 D₄

1.7 Grand antiprisme

1.8 Prismes

2 Annexes

2.1 Liens internes

2.2 Liens externes

2.3 Références

4-polytopes uniformes convexes

Dénombrement

Si on ne compte pas l'ensemble infini des duoprismes et des hyperprismes antiprismatiques, il existe 64 4-polytopes uniformes convexes :

4-polytopes non-prismatiques :

9 de groupe de Coxeter A₄ ;

9 de groupe de Coxeter F₄ ;

15 de groupe de Coxeter B₄ (dont 3 sont également compris dans la famille précédente) ;

15 de groupe de Coxeter H₄

1 forme adoucie spéciale dans le groupe F₄ ;

1 4-polytope spécial, le grand antiprisme ;

Prismes polyédriques :

5 prismes basés sur les solides de Platon (dont le tesseract, déjà compris dans la famille B₄) ;

13 prismes basés sur les solides d'Archimède.

Les autres formes convexes sont générées par deux ensembles prismatiques infinis :

l'ensemble des hyperprismes antiprismatiques uniformes, prismes polyédriques de deux antiprismes ;

l'ensemble des duoprismes uniformes.

A₄

Les 4-polytopes uniformes dont le groupe de Coxeter est A₄ sont au nombre de 9. Ils sont basés sur le 5-cellules (ou pentachore).

Polytope Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Cellules Faces Segments Sommets

5-cellules {3,3,3} 5 10 10 5

5-cellules rectifié t₁{3,3,3} 10 30 30 10

5-cellules tronqué t_0,1{3,3,3} 10 30 40 20

5-cellules biseauté t_0,2{3,3,3} 20 80 90 30

5-cellules augmenté t_0,3{3,3,3} 30 70 60 20

5-cellules bitronqué t_1,2{3,3,3} 10 40 60 30

5-cellules biseauté-tronqué t_0,1,2{3,3,3} 20 80 120 60

5-cellules augmenté-tronqué t_0,1,3{3,3,3} 30 120 150 60

5-cellules omnitronqué t_0,1,2,3{3,3,3} 30 150 240 120

BC₄

Caractéristiques

Les 4-polytopes uniformes dont le groupe de Coxeter est BC₄ sont au nombre de 15.

8-cellules

Les 4-polytopes suivants sont basés sur le 8-cellules (ou tesseract).

Polytope Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Cellules Faces Segments Sommets

8-cellules {4,3,3} 8 24 32 16

8-cellules rectifié t₁{4,3,3} 24 88 96 32

8-cellules tronqué t_0,1{4,3,3} 24 88 128 64

8-cellules biseauté t_0,2{4,3,3} 56 248 288 96

8-cellules augmenté
(16-cellules augmenté) t_0,3{4,3,3} 80 208 192 64

8-cellules bitronqué
(16-cellules bitronqué) t_1,2{4,3,3} 24 120 192 96

8-cellules biseauté-tronqué t_0,1,2{4,3,3} 56 248 384 192

8-cellules augmenté-tronqué t_0,1,3{4,3,3} 80 368 480 192

8-cellules omnitronqué
(16-cellules omnitronqué) t_0,1,2,3{4,3,3} 80 464 768 384

16-cellules

Les 4-polytopes suivants sont basés sur le 16-cellules (ou hexadécachore).

Polytope Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Cellules Faces Segments Sommets

16-cellules {3,3,4} 16 32 24 8

16-cellules rectifié
(24-cellules) t₁{3,3,4} 24 96 96 24

16-cellules tronqué t_0,1{3,3,4} 24 96 120 48

16-cellules biseauté
(24-cellules rectifié) t_0,2{3,3,4} 48 240 288 96

16-cellules augmenté
(8-cellules augmenté) t_0,3{3,3,4} 80 208 192 64

16-cellules bitronqué
(8-cellules bitronqué) t_1,2{3,3,4} 24 120 192 96

16-cellules biseauté-tronqué
(24-cellules tronqué) t_0,1,2{3,3,4} 48 240 384 192

16-cellules augmenté-tronqué t_0,1,3{3,3,4} 80 368 480 192

16-cellules omnitronqué
(8-cellules omnitronqué) t_{0,1,2,3{3,3,4}} 80 464 768 384

F₄

Les 4-polytopes uniformes dont le groupe de Coxeter est F₄ sont au nombre de 9. Ils sont basés sur le 24-cellules (ou icositétrachore).

Polytope Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Cellules Faces Segments Sommets

24-cellules
(16-cellules rectifié) {3,3,4} 24 96 96 24

24-cellules rectifié
(16-cellules biseauté) t₁{3,3,4} 48 240 288 96

24-cellules tronqué
(16-cellules biseauté-tronqué) t_0,1{3,3,4} 48 240 384 192

24-cellules biseauté t_0,2{3,3,4} 144 720 864 288

24-cellules augmenté t_0,3{3,3,4} 240 672 576 144

24-cellules bitronqué t_1,2{3,3,4} 48 336 576 288

24-cellules biseauté-tronqué t_0,1,2{3,3,4} 144 720 1 152 576

24-cellules augmenté-tronqué t_0,1,3{3,3,4} 240 1 104 1 440 576

24-cellules omnitronqué t_{0,1,2,3{3,3,4}} 240 1 392 2 304 1 152

24-cellules biseauté-tronqué alterné
(24-cellules adouci) h_0,1,2{3,3,4} 144 480 432 96

H₄

Caractéristiques

Les 4-polytopes uniformes dont le groupe de Coxeter est H₄ sont au nombre de 15.

120-cellules

Les 4-polytopes suivants sont basés sur le 120-cellules (ou hécatonicosachore).

Polytope Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Cellules Faces Segments Sommets

120-cellules {5,3,3} 120 720 1 200 600

120-cellules rectifié t₁{5,3,3} 720 3 120 3 600 1 200

120-cellules tronqué t_0,1{5,3,3} 720 3 120 4 800 2 400

120-cellules biseauté t_0,2{5,3,3} 1 920 9 120 10 800 3 600

120-cellules augmenté
(600-cellules augmenté) t_0,3{5,3,3} 2 640 7 440 7 200 2 400

120-cellules bitronqué
(600-cellules bitronqué) t_1,2{5,3,3} 720 4 320 7 200 3 600

120-cellules biseauté-tronqué t_0,1,2{5,3,3} 1 920 9 120 14 400 7 200

120-cellules augmenté-tronqué t_0,1,3{5,3,3} 2 640 13 440 18 000 7 200

120-cellules omnitronqué
(600-cellules omnitronqué) t_{0,1,2,3{5,3,3}} 2 640 17 040 28 800 14 400

600-cellules

Les 4-polytopes suivants sont basés sur le 600-cellules (ou hexacosichore).

Polytope Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Cellules Faces Segments Sommets

600-cellules {3,3,5} 600 1 200 720 120

600-cellules rectifié t₁{3,3,5} 720 3 600 3 600 720

600-cellules tronqué t_0,1{3,3,5} 720 3 600 4 320 1 440

600-cellules biseauté t_0,2{3,3,5} 1 440 8 640 10 800 3 600

600-cellules augmenté
(120-cellules augmenté) t_0,3{3,3,5} 2 640 7 440 7 200 2 400

600-cellules bitronqué
(120-cellules bitronqué) t_1,2{3,3,5} 720 4 320 7 200 3 600

600-cellules biseauté-tronqué t_0,1,2{3,3,5} 1 440 8 640 14 400 7 200

600-cellules augmenté-tronqué t_0,1,3{3,3,5} 2 640 13 440 18 000 7 200

600-cellules omnitronqué
(120-cellules omnitronqué) t_{0,1,2,3{3,3,5}} 2 640 17 040 28 800 14 400

D₄

Les 4-polytopes suivants sont basés sur le demitesseract. Ils sont déjà présents dans les autres constructions, mais sont indiqués ici pour mention de leur construction alternative.

Polytope Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Cellules Faces Segments Sommets

Demitesseract
(16-cellules) {3,3,5} 16 32 24 8

Demitesseract rectifié
(16-cellules tronqué) t₁{3,3,5} 48 240 288 96

Demitesseract tronqué
(8-cellules rectifié) t_0,1{3,3,5} 24 96 120 48

Demitesseract biseauté
(8-cellules bitronqué) t_0,2{3,3,5} 24 88 96 32

Demitesseract biseauté-tronqué
(24-cellules) t_0,1,2{3,3,5} 24 96 96 24

Demitesseract augmenté-biseauté
(16-cellules biseauté) t_0,2,3{3,3,5} 24 120 192 96

Demitesseract omnitronqué
(16-cellules biseauté-tronqué) t_{0,1,2,3{3,3,5}} 48 240 384 192

Demitesseract adouci
(24-cellules adouci) s{3,3,5} 144 480 432 96

Here again the snub 24-cell represents an alternated truncation of the truncated 24-cell, creating 96 new tetrahedra at the position of the deleted vertices. In contrast to its appearance within former groups as partly snubbed polychoron, only within this symmetry group it has the full analogy to the Kepler snubs, i.e. the snub cube and the snub dodecahedron.

Grand antiprisme

Le grand antiprisme comprend 20 antiprismes pentagonaux formant deux anneaux perpendiculaires, reliés par 300 tétraèdres.

Polytope Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Cellules Faces Segments Sommets

Grand antiprisme aucun aucun 320 720 500 100

Prismes

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Annexes

Liens internes

4-polytope régulier

4-polytope semirégulier

Duoprisme

Liens externes

(en) Eric W. Weisstein, « Uniform polychoron », MathWorld

(de) Uniform, convex polytopes in four dimensions (M. Möller, polytope.de)

(en) Uniform Polytopes in Four Dimensions (G. Olshevsky)

(en) Uniform polychora (J. Bowers)

(en) Stella4D

(en) Polychora (R. Klitzing)

Références

Portail de la géométrie

Catégorie :
Polychore

Polytope	Symbole de Schläfli	Cellules	Faces	Segments	Sommets
5-cellules	{3,3,3}	5	10	10	5
5-cellules rectifié	t₁{3,3,3}	10	30	30	10
5-cellules tronqué	t_0,1{3,3,3}	10	30	40	20
5-cellules biseauté	t_0,2{3,3,3}	20	80	90	30
5-cellules augmenté	t_0,3{3,3,3}	30	70	60	20
5-cellules bitronqué	t_1,2{3,3,3}	10	40	60	30
5-cellules biseauté-tronqué	t_0,1,2{3,3,3}	20	80	120	60
5-cellules augmenté-tronqué	t_0,1,3{3,3,3}	30	120	150	60
5-cellules omnitronqué	t_0,1,2,3{3,3,3}	30	150	240	120

Polytope	Symbole de Schläfli	Cellules	Faces	Segments	Sommets
8-cellules	{4,3,3}	8	24	32	16
8-cellules rectifié	t₁{4,3,3}	24	88	96	32
8-cellules tronqué	t_0,1{4,3,3}	24	88	128	64
8-cellules biseauté	t_0,2{4,3,3}	56	248	288	96
8-cellules augmenté (16-cellules augmenté)	t_0,3{4,3,3}	80	208	192	64
8-cellules bitronqué (16-cellules bitronqué)	t_1,2{4,3,3}	24	120	192	96
8-cellules biseauté-tronqué	t_0,1,2{4,3,3}	56	248	384	192
8-cellules augmenté-tronqué	t_0,1,3{4,3,3}	80	368	480	192
8-cellules omnitronqué (16-cellules omnitronqué)	t_0,1,2,3{4,3,3}	80	464	768	384

Polytope	Symbole de Schläfli	Cellules	Faces	Segments	Sommets
16-cellules	{3,3,4}	16	32	24	8
16-cellules rectifié (24-cellules)	t₁{3,3,4}	24	96	96	24
16-cellules tronqué	t_0,1{3,3,4}	24	96	120	48
16-cellules biseauté (24-cellules rectifié)	t_0,2{3,3,4}	48	240	288	96
16-cellules augmenté (8-cellules augmenté)	t_0,3{3,3,4}	80	208	192	64
16-cellules bitronqué (8-cellules bitronqué)	t_1,2{3,3,4}	24	120	192	96
16-cellules biseauté-tronqué (24-cellules tronqué)	t_0,1,2{3,3,4}	48	240	384	192
16-cellules augmenté-tronqué	t_0,1,3{3,3,4}	80	368	480	192
16-cellules omnitronqué (8-cellules omnitronqué)	t_{0,1,2,3{3,3,4}}	80	464	768	384

Polytope	Symbole de Schläfli	Cellules	Faces	Segments	Sommets
24-cellules (16-cellules rectifié)	{3,3,4}	24	96	96	24
24-cellules rectifié (16-cellules biseauté)	t₁{3,3,4}	48	240	288	96
24-cellules tronqué (16-cellules biseauté-tronqué)	t_0,1{3,3,4}	48	240	384	192
24-cellules biseauté	t_0,2{3,3,4}	144	720	864	288
24-cellules augmenté	t_0,3{3,3,4}	240	672	576	144
24-cellules bitronqué	t_1,2{3,3,4}	48	336	576	288
24-cellules biseauté-tronqué	t_0,1,2{3,3,4}	144	720	1 152	576
24-cellules augmenté-tronqué	t_0,1,3{3,3,4}	240	1 104	1 440	576
24-cellules omnitronqué	t_{0,1,2,3{3,3,4}}	240	1 392	2 304	1 152
24-cellules biseauté-tronqué alterné (24-cellules adouci)	h_0,1,2{3,3,4}	144	480	432	96

Polytope	Symbole de Schläfli	Cellules	Faces	Segments	Sommets
120-cellules	{5,3,3}	120	720	1 200	600
120-cellules rectifié	t₁{5,3,3}	720	3 120	3 600	1 200
120-cellules tronqué	t_0,1{5,3,3}	720	3 120	4 800	2 400
120-cellules biseauté	t_0,2{5,3,3}	1 920	9 120	10 800	3 600
120-cellules augmenté (600-cellules augmenté)	t_0,3{5,3,3}	2 640	7 440	7 200	2 400
120-cellules bitronqué (600-cellules bitronqué)	t_1,2{5,3,3}	720	4 320	7 200	3 600
120-cellules biseauté-tronqué	t_0,1,2{5,3,3}	1 920	9 120	14 400	7 200
120-cellules augmenté-tronqué	t_0,1,3{5,3,3}	2 640	13 440	18 000	7 200
120-cellules omnitronqué (600-cellules omnitronqué)	t_{0,1,2,3{5,3,3}}	2 640	17 040	28 800	14 400

Polytope	Symbole de Schläfli	Cellules	Faces	Segments	Sommets
600-cellules	{3,3,5}	600	1 200	720	120
600-cellules rectifié	t₁{3,3,5}	720	3 600	3 600	720
600-cellules tronqué	t_0,1{3,3,5}	720	3 600	4 320	1 440
600-cellules biseauté	t_0,2{3,3,5}	1 440	8 640	10 800	3 600
600-cellules augmenté (120-cellules augmenté)	t_0,3{3,3,5}	2 640	7 440	7 200	2 400
600-cellules bitronqué (120-cellules bitronqué)	t_1,2{3,3,5}	720	4 320	7 200	3 600
600-cellules biseauté-tronqué	t_0,1,2{3,3,5}	1 440	8 640	14 400	7 200
600-cellules augmenté-tronqué	t_0,1,3{3,3,5}	2 640	13 440	18 000	7 200
600-cellules omnitronqué (120-cellules omnitronqué)	t_{0,1,2,3{3,3,5}}	2 640	17 040	28 800	14 400

Polytope	Symbole de Schläfli	Cellules	Faces	Segments	Sommets
Demitesseract (16-cellules)	{3,3,5}	16	32	24	8
Demitesseract rectifié (16-cellules tronqué)	t₁{3,3,5}	48	240	288	96
Demitesseract tronqué (8-cellules rectifié)	t_0,1{3,3,5}	24	96	120	48
Demitesseract biseauté (8-cellules bitronqué)	t_0,2{3,3,5}	24	88	96	32
Demitesseract biseauté-tronqué (24-cellules)	t_0,1,2{3,3,5}	24	96	96	24
Demitesseract augmenté-biseauté (16-cellules biseauté)	t_0,2,3{3,3,5}	24	120	192	96
Demitesseract omnitronqué (16-cellules biseauté-tronqué)	t_{0,1,2,3{3,3,5}}	48	240	384	192
Demitesseract adouci (24-cellules adouci)	s{3,3,5}	144	480	432	96

Polytope	Symbole de Schläfli	Diagramme de Coxeter-Dynkin	Cellules	Faces	Segments	Sommets
Grand antiprisme	aucun	aucun	320	720	500	100

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4-polytope uniforme

Sommaire

4-polytopes uniformes convexes

Dénombrement

A₄

BC₄

Caractéristiques

8-cellules

16-cellules

F₄

H₄

Caractéristiques

120-cellules

600-cellules

D₄

Grand antiprisme

Prismes

Annexes

Liens internes

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4-polytope uniforme

Sommaire

4-polytopes uniformes convexes

Dénombrement

A4

BC4

Caractéristiques

8-cellules

16-cellules

F4

H4

Caractéristiques

120-cellules

600-cellules

D4

Grand antiprisme

Prismes

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A₄

BC₄

F₄

H₄

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