32-graphe de Thomassen

32-graphe de Thomassen
32-Graphe de Thomassen
Nombre de sommets 32
Nombre d'arêtes 53
Distribution des degrés 3 (24 sommets)
4 (6 sommets)
5 (2 sommets)
Rayon 4
Diamètre 6
Maille 4
Nombre chromatique 3
Indice chromatique 5
Propriétés Hypohamiltonien

Le 32-graphe de Thomassen est, en théorie des graphes, un graphe possédant 32 sommets et 53 arêtes. Il est hypohamiltonien, c'est-à-dire qu'il n'a pas de cycle hamiltonien mais que la suppression de n'importe lequel de ses sommets suffit à le rendre hamiltonien[1].

Sommaire

Histoire

En 1967, Herz, Duby et Vigué conjecturent que tout graphe hypohamiltonien a une maille de 5 ou plus[2]. Cette hypothèse est invalidée en 1974 par Carsten Thomassen (en), qui introduit simultanément un graphe hypohamiltonien de maille 3, le 60-graphe de Thomassen, et un graphe hypohamiltonien de maille 4, le 32-graphe de Thomassen[1].

Propriétés

Propriétés générales

Le diamètre du 32-graphe de Thomassen, l'excentricité maximale de ses sommets, est 6, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 4 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 4. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 3 arêtes.

Coloriage

Le nombre chromatique du 32-graphe de Thomassen est 3. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 3 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

L'indice chromatique du 32-graphe de Thomassen est 5. Il existe donc une 5-coloration des arêtes du graphe tels que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Propriétés algébriques

Le polynôme caractéristique du 32-graphe de Thomassen est : (x − 1)9x(x + 1)(x + 2)4(x2 − 6)(x3 + x2 − 6x − 2)(x4 − 9x2 − 2x + 14)(x4 − 3x3 − 5x2 + 11x + 4)(x4 + 2x3 − 7x2 − 14x − 2).

Notes et références

  1. a et b Carsten Thomassen, « On hypohamiltonian graphs », dans Discrete Mathematics, vol. 10, 1974b, p. 383–390 [lien DOI] , MR0357226
  2. J. C. Herz, J. J. Duby et F. Vigué, Theory of Graphs: International Symposium, Rome 1966, Paris, Gordon and Breach, 1967, p. 153–159 

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Thomassen Graphs », MathWorld


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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article 32-graphe de Thomassen de Wikipédia en français (auteurs)

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