Équations de Lagrange

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Les équations de Lagrange, découvertes en 1788 par le mathématicien Joseph Louis Lagrange, sont une reformulation de la mécanique classique.

Equations de première espèce

Il s'agit d'une reformulation de l'équation de Newton, qui ne fait pas intervenir les forces de réaction.

Pour cela, on exprime les contraintes que subit la particule étudiée sous la forme d'équations du type : $g_i (\vec x,t)=0$

Il n'y a qu'une équation si le mouvement est contraint à une surface, deux s'il est contraint à une courbe.

Par exemple, pour le pendule simple, on a la contrainte $g_1(\vec x,t)=r-l=0$. Si de plus le mouvement se fait dans le plan Oxz, on rajoute l'équation $g_2(\vec x,t)=y=0$

On fait l'hypothèse selon laquelle les forces de réaction (hors frottements) sont orthogonales à la surface ou courbe de contrainte, elle s'écrivent alors sous la forme

$\vec {R} _i=\lambda_i \vec \nabla g_i~~,~~i=1,2$

Les équations du mouvement sont donc

Erreur math (La conversion en PNG a échoué ; vérifiez l’installation de latex et dvipng (ou dvips + gs + convert)): m\ddot \vec r = \vec F+\lambda_1 \vec \nabla g_1+\lambda_2 \vec \nabla g_2 $g_i (\vec x,t)=0~~,~~i=1,2$

Equations de deuxième espèce

En mécanique lagrangienne, la trajectoire d'un objet est obtenue en cherchant à minimiser une certaine quantité, appelée action (physique). Le principe de moindre action indique qu'un objet suit la trajectoire qui minimise l'action à chaque instant et les équations de Lagrange reformulent dans ce contexte les lois de la mécanique classique découvertes par Isaac Newton.

En mécanique, les équations de Lagrange permettent d'obtenir très facilement les équations du mouvement d'un système complexe sans avoir à utiliser la notion de force.

Pour un système à N degrés de liberté décrit par N coordonnées généralisées q_i, on exprime le lagrangien L à partir des coordonnées généralisées q_i et de leurs dérivées par rapport au temps $\dot{q}_{i}$ comme la différence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle. Comme le temps peut figurer explicitement dans le lagrangien, il dépend au final de 2N + 1 variables.

Lorsqu'aucun effort extérieur n'est appliqué sur le système, les équations de Lagrange ont la forme suivante :

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = 0$

Ces équations peuvent se déduire directement des lois de la mécanique classique. Il y a une équation pour chaque coordonnée généralisée $\dot{q}_{i}$. L'un des intérêts de ces équations est de pouvoir choisir le système de variables le plus adapté pour décrire le système.

En mécanique classique, le paramètre est le temps et ces équations sont les équations de Lagrange proprement dites.

Si le paramètre est la longueur de la trajectoire, ces équations fournissent l'équation géodésique.

Établissement des équations

Étant donné un système de coordonnées quelconque x_i, une variable τ permettant de paramétrer les trajectoires, on considère une fonction L qui ne dépend que des variables x_i et leur dérivée totale par rapport à τ, $\dot{x}_i$. On veut trouver les trajectoires x_i(τ) d'extrémités données τ₁ et τ₂, qui minimisent l'intégrale

$\int_{\tau_1}^{\tau_2} L\left(x_i, \dot{x}_i\right) \mathrm d\tau$

Considérons une trajectoire infiniment voisine $x'(\tau) = x(\tau) + \epsilon \xi(\tau)$ avec $\epsilon$ un infiniment petit et ξ(τ₁) = ξ(τ₂) = 0. Supposant que les solutions sont trouvées et ξ(τ₁) donné, la fonction

$S\left(\epsilon\right) = \int_{\tau_1}^{\tau_2} \left(L\left(x_i, \dot{x}_i\right) + \epsilon \xi\left(\tau\right) \frac{\partial L}{\partial x_i} + \epsilon \dot{\xi}\left(\tau\right) \frac{\partial L}{\partial \dot{x_i}} + o\left(\epsilon\right) \right)\mathrm d\tau$

est minimale pour ε = 0 :

$0 = \left[ \frac{\mathrm dS}{\mathrm d\epsilon} \right] \left(0\right) = \int_{\tau_1}^{\tau_2} \left( \xi\left(\tau\right) \frac{\partial L}{\partial x_i} + \dot{\xi}\left(\tau\right) \frac{\partial L}{\partial \dot{x_i}} \right)\mathrm d\tau$

Intégrant par parties le second terme sous l'intégrale et profitant du fait que ξ a été supposée nulle aux bornes, on a

$0 = \int_{\tau_1}^{\tau_2} \left(\xi\left(\tau\right) \frac{\partial L}{\partial x_i} - \xi\left(\tau\right) \frac{\mathrm d}{\mathrm d\tau} \frac{\partial L}{\partial \dot{x_i}} \right)\mathrm d\tau$.

Comme la fonction ξ est quelconque, on doit avoir

$\frac{\partial L}{\partial x_i} - \frac{\mathrm d}{\mathrm d\tau} \frac{\partial L}{\partial \dot{x_i}} = 0$

Efforts extérieurs

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Lorsque les forces $\vec{F}$ appliquées dérivent d'un potentiel généralisé Erreur math (La conversion en PNG a échoué ; vérifiez l’installation de latex et dvipng (ou dvips + gs + convert)): V(\vec x,\dot \vec x,t) , c'est-à-dire vérifiant

$F_i=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial V}{\partial \dot{x}_i} - \frac{\partial V}{\partial x_i}$

l'équation ci-dessus reste valable, avec le lagrangien $L = T - V~$

Lorsqu'une force F ne dérivant pas d'un potentiel généralisé est appliquée sur le système au point P = (x,y,z), les équations de Lagrange deviennent alors :

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = F_{q_i}$ où $F_{q_i}=\frac{\partial x}{\partial q_{i}}\cdot F_{x}+\frac{\partial y}{\partial q_{i}}\cdot F_{y}+\frac{\partial z}{\partial q_{i}}\cdot F_{z}$

Un exemple de force dérivant d'un potentiel généralisé mais pas d'un potentiel classique est la force de Lorentz :

$\vec F=q \vec E + q \vec v \times \vec B=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \frac{\partial V}{\partial \dot \vec{x}} - \frac{\partial V}{\partial \vec x}$ avec Erreur math (La conversion en PNG a échoué ; vérifiez l’installation de latex et dvipng (ou dvips + gs + convert)): V(\vec x,\dot \vec x,t)=q \phi - q \vec A \cdot \vec v

En revanche, la force de frottement fluide $\vec F=-\alpha \vec v$ ne dérive d'aucun potentiel, même généralisé.

Exemples

• Pendule double ;
• Pendule sphérique ;
• Équation géodésique.