Équation paramétrique

En mathématiques et plus précisément en géométrie, une équation paramétrique est une équation particulière définissant un ensemble géométrique, comme une droite ou un arc géométrique, ou plus généralement un sous-espace affine ou une hypersurface.

Exemple introductif

L'objectif est de définir une droite Δ dans un espace euclidien. Soit A un espace affine réel de dimension 3, E son espace vectoriel associé et (O, e₁, e₂, e₃) un repère orthonormal R de E. On suppose que la droite D contient le point A de coordonnées (1; 3; 5) et qu'elle possède u, de coordonnées (2; -3; 5) dans la base associée au repère R, comme vecteur directeur^[1].

Soit un point M élément de la droite Δ, le vecteur d'extrémité A et M est colinéaire à u, car u est un vecteur directeur de Δ, cela signifie qu'il existe un nombre réel k tel que :

$\overrightarrow{AM} = k\vec{u}\quad\text{et}\quad \overrightarrow{AM} = 2k\vec{e_1} - 3k\vec{e_2} + 5k\vec{e_3}$

Cette égalité s'écrit encore, en termes de coordonnées, si x, y et z désignent les coordonnées du point M dans le repère R :

$\begin{pmatrix} x-1 \\ y - 3 \\ z-5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2k \\ -3k \\ 5k\end{pmatrix}$

Les coordonnées d'un point M de la droite Δ vérifient les égalités suivantes, dites équation paramétrique de la droite :

$(\Delta) \quad \left\{\begin{matrix} x &= &{\color{Blue}2}k & + &{\color{Red}1} \\ y &= &{\color{Blue}-3} k & + &{\color{Red}3} \\ z &= &{\color{Blue}5} k & + & {\color{Red}5} \end{matrix}\right.$

On remarque que les valeurs bleues correspondent aux coordonnées du vecteur directeur u et les rouges au point A.

Arc paramétré

Article détaillé : Paramétrage.

L'exemple introductif montre comment il est possible de définir un ensemble géométrique de l'espace à l'aide d'une équation paramétrée d'une droite. Cette propriété ne se limite pas à une droite, un arc paramétrique se définit aussi à l'aide d'une équation de cette nature. Ainsi, une hélice est définie par une équation du type^[2]:

$\left \{ \begin{matrix} x = &x_0 + &r \cdot \cos(2\pi \cdot t) \\ y = &y_0 + &r \cdot \sin(2\pi \cdot t) \\ z = &z_0 + &p \cdot t \end{matrix} \right .\quad\text{avec}\quad r,p \in \mathbb R$

Sous-espace affine

Article détaillé : Sous-espace affine.

Si maintenant A est un espace affine de dimension n, d'espace vectoriel associé E si (O, e₁, ..., e_n) est un repère R de A, il est aussi possible de définir un sous-espace affine S de A à l'aide d'un système d'équations paramétriques. Soit d la dimension du sous-espace affine contenant un point M de coordonnées (a₁, ..., a_n) et de direction de base (u₁, ..., u_d). Soit (u_j1, ..., u_jn) les coordonnées du vecteur u_j, l'équation paramétrique du sous-espace affine S a pour coordonnées :^[3]

$(S) \quad \left\{\begin{matrix} x_1 &= &a_1 & + &k_1u_{11} + \cdots + k_d u_{d1} \\ x_2 &= &a_2 & + &k_1u_{12} + \cdots + k_d u_{d2} \\ \vdots \\ x_n &= &a_n & + &k_1u_{1n} + \cdots + k_d u_{dn} \end{matrix}\right.$

Variété

Il est enfin possible de généraliser l'équation paramétrique à une sous-variété de dimension quelconque d'un espace euclidien de dimension d, définissant une hypersurface. Les équations suivantes correspondent à celles d'une surface cylindrique de révolution C, plongée dans un espace affine de dimension 3.

$(C) \quad \left\{\begin{matrix} x &= &a_1 & + &r \cdot \cos(2\pi \cdot k_1) \\ y &= &a_2 & + &r \cdot \sin(2\pi \cdot k_1) \\ z &= & 0 & + &k_2 \end{matrix}\right.$

Références

1. ↑ Cet exemple est extrait de la vidéo : S. Maniez, Équation paramétrique de droite spatiale, France5.fr
2. ↑ S. Mehl Hélice Chronomath
3. ↑ N. Drakos R. Moore Équations paramétriques sur le site geothalg (2002)