Équation du radar

L’énergie retournée dépend de la puissance transmise, du gain de l'antenne, de la longueur d'onde utilisée, de la distance radar-cible et de la surface équivalente radar de la cible (σ)

L'équation du radar est un bilan des puissances sur le trajet aller-retour d'une onde émise par un radar. Celle-ci dépend des caractéristiques du radar (antenne, circuits électroniques, guide d'onde, pertes de signal, etc.), de celles de la cible et du milieu traversé le long du trajet. Les premières sont constantes alors que les deuxièmes et troisièmes varient dans le temps et l'espace.

Forme générale

Établir l’équation du radar consiste à faire le bilan de puissance sur le trajet aller/retour du signal émis. La puissance reçue par l'antenne réceptrice d'un radar est donnée par^[1] :

$P_r = P_t{{G_t G_r \lambda^2 \sigma_0}\over{{(4\pi)}^3 R_t^2R_r^2}}\qquad \qquad \begin{cases} P_r = Puissance\ recue \\ P_t = Puissance\ transmise \\ G_t = gain\ de\ l'antenne\ \acute{e}mettrice \\ G_r = gain\ de\ l'antenne\ r\acute{e}ceptrice \\ \lambda = longueur\ d'onde\ du\ radar \\ \sigma = section\ efficace\ ou\ surface\ \acute{e}quivalente\ radar \\ (coefficient\ de\ r\acute{e}flexion\ de\ la\ cible) \\ R_t = distance\ cible-radar\ \acute{e}metteur \\ R_r = distance\ cible-radar\ r\acute{e}cepteur \end{cases}$

Variables

Énergie retournée selon la direction par une cible, correspondant à sa surface équivalente radar

On voit que l'équation est fonction de plusieurs constantes et variables. Du côté du radar, on a la puissance transmise ($\scriptstyle P_t$), le gain d'antenne ($\scriptstyle G_t$ et $\scriptstyle G_r$) soit le rapport entre la puissance rayonnée dans le lobe principal et la puissance rayonnée par une antenne isotrope et la longueur d'onde utilisée $\scriptstyle \lambda$. Ces valeurs sont en général constantes.

La réponse d'une cible est liée à sa surface équivalente (σ) définie dans cette équation et sa distance. La cible est une composition de surfaces élémentaires. Comme elle est en mouvement, cette surface équivalente évolue à chaque instant et donne un retour qui varie. Une surface élémentaire s_k produit un signal élémentaire e_k reçu au niveau du radar :

$\vec {e_k} = a_k \cos (2 \pi f_0 t + \Phi_k)$

Le signal total sera de la forme : $S = \sum \vec {e_k}$

Alors que les différents a_k ne sont pas nuls, la somme des e_k peut être nulle à cause des différences de phases Φ_k de chaque terme.

Autres facteurs

Il est possible d'ajouter des termes de gains ou de pertes supplémentaires à cette équation, par exemple :

• perte d'énergie par diffusion de l'onde sur des particules en suspension dans l'atmosphère (pluie, neige...)
• perte d'énergie par bruit thermique sur les composants électroniques
• perte d'énergie par brouillage
• augmentation du rapport signal à bruit par compression d'impulsion
• etc.

Forme simplifiée

Dans la plupart des cas :

• L'émetteur et le récepteur constituent le même dispositif (on parle alors de radar monostatique) et Rt = Rr = R
• L'antenne d'émission est utilisée comme antenne de réception et Gt = Gr = G

$P_r = P_t{{ G^2 \lambda^2 \sigma_0}\over{{(4\pi)}^3 R^4}}.$

L'équation ci-dessus est une simplification ne tenant pas compte des interférences et du bruit. En situation réelle, les pertes doivent être prises en considération, tout autant que les autres facteurs de transmission.

Calcul de la portée maximum

On définit la portée utile maximale, la distance pour laquelle le bilan de puissance fera apparaître le signal minimum, noté S_min, que l'on peut détecter, en puissance reçue^[1] :

$R^4_{max} = {{P_t G^2 \lambda^2 \sigma_0}\over{{(4\pi)}^3 S_{min}}}.$

Forme de l'équation pour cibles volumiques

Un faisceau radar a des caractéristiques physiques qui dépendent de l'antenne utilisée, de la longueur de l'impulsion et de la longueur d'onde utilisée qui lui donne une largeur et une profondeur de volume de résolution. L'équation générale est bonne pour le cas d'une onde radar retournée par une cible unique comme un avion dans ce volume sondé. Cependant, dans le cas où l'onde provient d'une multitude de cibles dans le volume sondé, comme dans le cas de gouttes de pluie avec un radar météorologique, le σ₀ doit être développé ainsi^[2] :

$\bar \sigma_0 = V \sum \sigma_{0j} = V \eta.$

Où

V = Volume sondé = longueur impulsion x largeur faisceau

V = $\left[\frac {c\tau}{2} \right] \left[ \frac {\pi R^2 \theta^2}{4} \right] \qquad \qquad \begin{cases} c = vitesse\ de\ la\ lumi\grave{e}re \\ \tau = longueur\ temporelle\ de\ l'impulsion \\ \theta = ouverture\ du\ faisceau\ en\ degr\acute{e}\ radian \end{cases}.$

et η est la réflectivité radar.

En combinant l'équation radar avec cette définition du retour effectif des cibles, on arrive à:

$P_r = \left [ P_t{{ G^2 \lambda^2 }\over{{(4\pi)}^3 R^4}} \right] \left[ \frac {c\tau}{2} \right] \left[ \frac {\pi R^2 \theta^2}{4} \right] \eta.$

L'équation devient:

$P_r = \left [ P_t \tau G^2 \lambda^2 \theta^2 \right] \left[ \frac {c}{512(\pi^2)} \right] \frac {\eta} {R^2}.$

L'équation précédente est obtenue en supposant que la puissance transmise par unité de surface est la même partout à l'intérieur du cône défini par l'angle d'ouverture θ, ce qui n'est pas le cas en réalité (la puissance est plus importante près de l'axe de visée qu'aux bords du cône). En 1962, Probert-Jones proposa une autre expression pour l'équation du radar qui s'avéra plus en concordance avec les mesures expérimentales. En modélisant le faisceau radar par une gaussienne, (ce qui est correct pour une antenne en forme de paraboloïde de révolution), l'équation radar s'écrit plutôt^[2] :

$P_r = \left [ P_t \tau G^2 \lambda^2 \theta^2 \right] \left[ \frac {c}{512(2\ln2)\pi^2} \right] \frac {\eta} {R^2}.$

$\Rightarrow$Ceci montre que dans le cas de cibles volumiques l'énergie reçue décroît inversement à R² au lieu de R⁴.

Forme simplifiée

Lorsque les cibles sont des petites gouttes de pluie ou des flocons (en comparaison avec la longueur d'onde λ), les conditions de la diffusion de Rayleigh sont valides et on peut calculer leur réflectivité :

$\eta=\sum \sigma_{0j}=\frac{\pi^5}{\lambda^4}|K|^2\sum D_i^6,$

Donc de manière générale:

$P_r = \left [ \frac C {R^2} \right] \left[ |K|^2 \sum D_i^6 \right], \begin{cases} C = \frac {P_t \tau G^2\theta^2 c\pi^3}{512(2\ln2)\lambda^2}\ est\ la\ constante\ radar \\ |K|^2:\ devient\ |K_w|^2=0,93\ pour\ l'eau\ \\ et\ |K_i|^2= 0,24\ pour\ la\ glace \end{cases}$

En conclusion, le gros intérêt de l'équation dans cette formulation est que:

Terme de gauche est relié au radar

• C ne dépend que des caractéristiques du radar (longueur d'onde, gain de l'antenne, largeur du pulse, largeur du faisceau et puissance émise).
• La puissance varie en $\, 1 / R^2$

Terme de droite est relié à la cible

• K est le facteur diélectrique et ne dépend que du type de précipitations
• D_i est le diamètre de la i^ième goutte du volume sondé.

Bibliographie

R. J. Doviak et D. S. Zrnic, Doppler Radar and Weather Observations, Academic Press. Seconde Édition, San Diego Cal., 1993, 562 p.

J. R. Probert-Jones, The radar equation in meteorology, Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society, volume 88, p. 485–495, 1962.

Notes et références

1. ↑ ^{a et b} (en)Merrill I. Skolnik, Radar handbook, McGraw-Hill, 22 janvier 2008, 1328 p. (ISBN 0071485473 et 9780071485470) [lire en ligne (page consultée le 2009-09-27)], chap. 1.4 
2. ↑ ^{a et b} (en)Merrill I. Skolnik, Radar handbook, McGraw-Hill, 22 janvier 2008, 1328 p. (ISBN 0071485473 et 9780071485470) [lire en ligne (page consultée le 2009-09-27)], chap. 19.2 

Voir aussi