Équation différentielle linéaire

Une équation différentielle linéaire est un cas particulier d'équation différentielle pour lequel on peut appliquer des procédés de superposition de solutions, et exploiter des résultats d'algèbre linéaire. De nombreuses équations différentielles de la physique vérifient la propriété de linéarité.

Une équation différentielle linéaire scalaire se présente comme une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues et leurs dérivées, de la forme suivante

$a_0 y + a_1 y' + a_2 y'' + ... + a_n y^{(n)}= a_{n+1} \,$

où $a_0 \,$, $a_1 \,$, ... $a_n \,$, $a_{n+1} \,$ sont des fonctions numériques continues.

Une équation différentielle linéaire vectorielle aura le même aspect, en remplaçant les a_i par des applications linéaires (ou souvent des matrices) fonctions de x. Une telle équation sera parfois aussi appelée système différentiel linéaire.

L'ordre de l'équation différentielle correspond au degré maximal de différentiation auquel une des fonctions inconnues y a été soumise, n dans l'exemple précédent. Il existe des méthodes générales de résolution pour l'équation différentielle scalaire d'ordre un, l'équation différentielle linéaire à coefficients constants.

Article lié : système différentiel linéaire.

Généralités sur l'équation différentielle linéaire scalaire

Celle-ci s'écrit, sous sa forme la plus générale :

$a_0(x) y^{(n)}+a_1(x) y^{(n-1)}+... a_{n-1}(x) y'+a_n(x) y = f(x)\,$

Équation homogène

Cette équation, appelée aussi équation sans second membre (!), s'écrit :

$a_0(x) y^{(n)}+a_1(x) y^{(n-1)}+... a_{n-1}(x) y'+a_n(x) y = 0\,$

Si on dispose de n intégrales particulières linéairement indépendantes :

$\begin{array}{c} a_0(x) y_1^{(n)}+a_1(x) y_1^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}(x) y_1'+a_n(x) y_1 = 0\\ \cdots\\ a_0(x) y_n^{(n)}+a_1(x) y_n^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}(x) y_n'+a_n(x) y_n = 0 \end{array}$

en multipliant chaque équation respectivement par les constantes $C_1,\ldots\, C_n\,$, la fonction

$y = C_1 y_1 +\,\cdots\,+ C_n y_n\,$

qui dépend de n constantes arbitraires satisfait l'équation : c'est l'intégrale générale de celle-ci.

Équation non homogène

Si, à cette fonction dépendant de n constantes arbitraires, est ajoutée une intégrale particulière de l'équation complète, la somme des deux satisfait l'équation complète : c'est l'intégrale générale de l'équation non homogène.

Cas de l'équation à coefficients constants

L'équation s'écrit alors :

$a_0 y^{(n)}+a_1 y^{(n-1)}+\,\cdots\,+a_{n-1} y'+a_n y = 0\,$

En cherchant une solution de la forme $y = e^{rx}\,$, on obtient l'équation caractéristique :

$a_0 r^n+a_1 r^{(n-1)}+\,\cdots\,+a_{n-1} r+a_n = 0\,$

Si les n racines sont distinctes, cette équation fait apparaître les n fonctions indépendantes suffisantes pour déterminer toutes les solutions de l'équation homogène. Une racine réelle correspond à une exponentielle tandis qu'une paire de racines complexes conjuguées se traduit par une exponentielle multipliée par une sinusoïde.

Dans le cas de l'équation complète, il ne reste plus qu'à trouver une seule solution de celle-ci. C'est particulièrement simple dans le cas important d'un second membre sinusoïdal ou lorsque celui-ci peut être décomposé en sommes de sinusoïdes (voir Analyse spectrale). Pour d'autres types de seconds membres, la transformation de Laplace fournit un certain nombre de solutions.

Équation différentielle linéaire d'ordre 1 sous forme résolue

L'équation d'ordre 1 sert de référence pour toute la théorie, puisque les équations d'ordre supérieur peuvent s'y ramener. La forme résolue, ou explicite, permet d'avoir de bons résultats théoriques d'existence et d'unicité.

Définition

Écriture générale

Soient I intervalle et E un espace vectoriel normé de dimension finie d. Soit a fonction continue sur I à valeurs dans L(E). Soit enfin b fonction continue sur I à valeurs dans E. L'équation

$y'= a\cdot y + b \,$

est appelée équation différentielle linéaire d'ordre 1 sur I, sous forme résolue .

Une solution de cette équation est une fonction y de classe $\mathcal C^1$ de I dans E telle que

$\forall x \in I \qquad y'(x)=a(x) ( y(x)) +b(x) \,$

Écriture matricielle

En fixant une base de E, l'équation peut s'écrire matriciellement, avec une fonction $A \,$ continue sur I à valeurs dans l'espace des matrices carrées $\mathcal{M}_d(\mathbb{K})$ et B fonction continue sur I à valeurs dans $\mathbb{K}^d$. L'équation devient Y' = AY + B

Écriture en composantes

Elle prend la forme d'un système

$\begin{cases} y'_1&= a_{11} y_1 +\dots + a_{1n}y_n+b_1\\ &\dots \\ y'_n&= a_{n1} y_1 +\dots + a_{nn}y_n+b_n\end{cases}$

Existence et unicité de solutions

Pour identifier complètement une solution de l'équation on peut imposer des conditions initiales, c'est-à-dire la valeur y₀ de y au point x₀. On appelle problème de Cauchy l'ensemble constitué par l'équation différentielle et la condition initiale

$\begin{cases} y'=ay+b\\ y(x_0)=y_0\end{cases}$

Le théorème de Cauchy-Lipschitz permet d'affirmer que ce problème de Cauchy admet une solution unique.

Par rapport aux équations différentielles générales, la particularité des équations linéaires est que les fonctions solutions sont définies sur I entier.

Remarque

L'expression « sous forme résolue » s'oppose aux équations sous forme implicite qui sont mentionnées dans un paragraphe ultérieur. Ces dernières sont de la forme ay'+by=c et ne bénéficient pas du théorème de Cauchy-Lipschitz.

Utilisations de l'exponentielle pour la résolution systématique

L'équation différentielle la plus simple est y'=b, qui consiste en un calcul de primitive. Sous certaines hypothèses, il est possible de se ramener à cette forme par changement de variables. La résolution explicite des équations différentielles par des formules de quadrature, c'est-à-dire impliquant les fonctions usuelles et la primitivation, est cependant rarement possible.

Les deux cas particuliers qui suivent n'en ont que plus d'importance.

Équation différentielle linéaire scalaire d'ordre 1

Article détaillé : équation différentielle linéaire d'ordre un.

On considère l'équation y'=ay+b dans le cas où E est le corps des réels ou des complexes. Soit A une primitive de la fonction a. Alors le changement de variable

z(x) = e ^{− A(x)}y(x)

permet de ramener l'équation différentielle à un problème de calcul de primitive

$\left[ \forall x \in I, y'(x)=a(x)y(x)+b(x)\right]\Leftrightarrow \left[\forall x \in I, \, z'(x)=e^{-A(x)} b(x)\right]$

Équation différentielle linéaire d'ordre 1, à coefficients constants

L'équation considérée est cette fois l'équation vectorielle y'=ay+b, mais avec l'hypothèse que a est indépendant de x, d'où l'expression coefficients constants quand on considère le système associé. Le vecteur b, lui peut être variable.

En faisant appel à la notion d'exponentielle d'endomorphisme le changement de fonction variable

z(x) = e ^{− x.a}(y(x))

permet de ramener là encore l'équation différentielle à un problème de calcul de primitive

$\left[ \forall x \in I, y'(x)=a(y(x))+b(x)\right]\Leftrightarrow \left[\forall x \in I, \, z'(x)=e^{-x.a} (b(x))\right]$

Pour résoudre effectivement une telle équation, il est donc nécessaire, outre la primitivation, de faire un calcul d'exponentielle d'endomorphisme, ce qui fait intervenir les techniques de réduction.

Cas général

Quand on revient à l'équation vectorielle générale y'=ay+b, il est tentant de reprendre la formule de changement de variable (A désignant une primitive de a)

z(x) = e ^{− A(x)}y(x)

puisqu'elle fonctionne dans le cas scalaire.

Malheureusement la formule de dérivation des exponentielles de matrices ne s'étend pas en général à ce cas-là. Le seul point sur lequel achoppe la démonstration est la non-commutation de A(x) et de A'(x), de sorte que si cette condition est réalisée pour tout x, la méthode fonctionne et on aboutit au même résultat que pour une équation scalaire. Mais cela ne procure pas de méthode générale.

Il existe toutefois une solution formelle au problème. Soit A(t) une fonction continue sur un intervalle K compact de ${\mathbb R}$. Soit M(x,ξ) une fonction matricielle continue définie sur K x K. On définit l'opérateur ${\mathcal L}$ de la manière suivante: ${\mathcal L}(M)(x,\xi) = \int_{\xi}^x M(x,t) A(t) dt$. Cet opérateur est un opérateur linéaire. On définit maintenant la fonction matricielle $\Phi(x,\xi) = \sum_{n \ge 0} {\mathcal L}^n({\mathbb I})$ On remarque que la série ci-dessus est normalement convergente car chaque terme est borné par | | A | | ⁿ(x − ξ)ⁿ / n! et donc la définition ci-dessus a un sens. On considère $n \ge 1$. On montre facilement que

${\partial \over \partial x} {\mathcal L}^{n+1}(M)(x,\xi) = A(x) \times {\mathcal L}^n(x,\xi)$

De la même manière, on prouve que

${\partial \over \partial \xi} {\mathcal L}^{n+1}(M)(x,\xi) = - {\mathcal L}^n(x,\xi) \times A(\xi)$

Comme la série ci-dessus est une famille sommable, on montre alors facilement que

${\partial \over \partial x} \Phi(x,\xi) = A(x) \Phi(x,\xi)$

et que

${\partial \over \partial \xi} \Phi(x,\xi) = - \Phi(x,\xi) A(\xi)$

On montre que la dérivée en y de $\Phi(x,y) \times \Phi(y,z)$ est constante en appliquant les formules ci-dessus. De plus, on a $\Phi(x,x) = {\mathbb I}$ et donc on en déduit que $\Phi(x,y) \times \Phi(y,z) = \Phi(x,z)$ et donc que $\Phi(\xi,x) \times \Phi(x,\xi) = {\mathbb I}$ et donc la matrice Φ est inversible. On voit alors que Φ(x,ξ) est une solution de l'équation différentielle linéaire homogène y' = A(x) y. Pour la solution avec second membre, on fait varier les constantes vectorielles.

Méthode variationnelle

On considère un système d'équations différentielles quelconque du type y' = f(x,y). On considère une solution approchée y₀. On définit alors y = y₀ + δy. On résout alors:

$(y_0 + \delta y)' = f(x,y_0 + \delta y) \simeq f(x,y_0) + f'_y(x,y_0) \delta y$

On obtient alors l'équation affine suivante:

δy' = f'_y(x,y₀)δy + f(x,y₀) − y'₀

La matrice f'_y(x,y₀) dépend de x et on utilise la méthode décrite ci-dessus. La convergence est quadratique et donc l'équation différentielle peut être résolue de manière exacte généralement en 3 à 4 itérations.

Principe de superposition

On considère toujours l'équation linéaire d'ordre 1 sous forme résolue y ' = ay + b. On note d la dimension de l'espace E.

Équation homogène

L'équation est homogène quand b est constamment nul. Dans ce cas toute combinaison linéaire de solutions de l'équation est elle aussi solution. L'espace S des solutions a une structure d'espace vectoriel.

En outre l'application valeur en x₀ :

$\begin{matrix} S&\longrightarrow & E\\ y&\longmapsto & y(x_0)\end{matrix}$

est linéaire, bijective par le théorème de Cauchy-Lipschitz. C'est donc un isomorphisme d'espaces vectoriels et S est de dimension d identique à celle de E.

Résoudre l'équation homogène revient donc à trouver d solutions y₁, ..., y_d linéairement indépendantes, qui formeront alors une base de S. Une telle base est appelée système fondamental de solutions. L'isomorphisme de Cauchy-Lipschitz a une conséquence surprenante : si en un point t, les vecteurs y₁(t), ..., y_d(t) sont indépendants, alors en tout autre point t, les vecteurs y₁(t'), ..., y_d(t') le sont également.

Pour tester si d solutions sont linéairement indépendantes, il suffit donc de vérifier si d vecteurs de E sont indépendants. On calcule donc un déterminant adapté : le wronskien.

Structure algébrique de l'espace de solutions

Variation des constantes

On considère que les constantes issues de la résolution de l'équation sans second membre, sont des fonctions de la variable d'intégration. On dérive la solution qu'on a établi, sans oublier que les constantes sont variables. Puis on réinjecte dans l'équation avec second membre. Ceci permet ensuite d'obtenir une solution particulière qui complète notre solution générale pour former la solution de notre équation différentielle avec second membre.

Autres formes de superposition

Équation sous forme non résolue

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Forme générale d'équation différentielle linéaire

Écriture générale

Soient I intervalle et E espace vectoriel normé de dimension finie d. Soient n fonctions $a_0 \,$, $a_1 \,$, ... $a_n \,$ continues sur I à valeurs dans L(E). Soit enfin $a_{n+1} \,$ fonction continue sur I à valeurs dans E. L'équation

$a_0 \cdot y + a_1 \cdot y' + a_2 \cdot y'' + ... + a_n \cdot y^{(n)}= a_{n+1} \,$

est appelée équation différentielle linéaire d'ordre n sur I.

Une solution de cette équation est une fonction y de classe $\mathcal C^n$ de I dans E telle que

$\forall x \in I \qquad a_0(x) ( y(x)) + a_1(x) ( y' (x)) + a_2(x) ( y''(x)) + ... + a_n(x) ( y^{(n)} (x))= a_{n+1}(x) \,$

Écriture matricielle

En fixant une base de E, l'équation peut s'écrire matriciellement. Soient n fonctions $A_0 \,$, $A_1 \,$, ... $A_n \,$ continues sur I à valeurs dans l'espace des matrices carrées $\mathcal{M}_d(\mathbb{K})$. Soit enfin B fonction continue sur I à valeurs dans $\mathbb{K}^d$. L'équation devient

$A_0 Y + A_1 \cdot Y' + A_2 \cdot Y'' + ... + A_n \cdot Y^{(n)}= B \,$

Réduction à l'ordre 1

Toute équation linéaire peut être vue comme une équation d'ordre 1, à condition de modifier l'espace vectoriel en conséquence.

On prend en effet comme nouvel espace vectoriel Eⁿ, comme nouvelle fonction inconnue le vecteur

$Y=(y,y',\dots, y^{(n-1)})=(Y_0,\dots, Y_{n-1})$

L'équation équivalente vérifiée par les composantes de Y est

$\begin{cases}Y_1=Y'_0\\ \dots \\ Y_{n-1} = Y'_{n-2}\\ a_0 \cdot Y_0 + a_1 \cdot Y_1 + a_2 \cdot Y_2 + ... + a_{n-1} \cdot Y_{n-1} + a_{n} \cdot Y'_{n-1} = a_{n+1} \end{cases}\,$

qui est bien une équation différentielle d'ordre 1.

Voir aussi

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