Élément symétrique

En mathématiques, la notion d'élément symétrique généralise les concepts d'opposé en rapport avec l'addition et d'inverse en rapport avec la multiplication.

Définition

Soit E un ensemble muni d'une loi de composition interne $\top$ admettant un élément neutre $e\in E$. Soit deux éléments a et b de E.

• Si $a\top b = e$, a est dit élément symétrique à gauche (ou élément inverse à gauche) de b et b est dit élément symétrique à droite (ou élément inverse à droite) de a.
• Si $a\top b = b\top a = e$, a est dit élément symétrique (ou élément inverse) de b.

Un élément x de E qui admet au moins un symétrique à droite est dit symétrisable à droite (ou inversible à droite) ; s'il admet au moins un symétrique à gauche, il est dit symétrisable à gauche (ou inversible à gauche) ; s'il admet au moins un symétrique, il est dit symétrisable (ou inversible).

Propriétés

Dans le cas général, comme pour les éléments neutres à droite et à gauche, il est possible pour un élément donné y d'avoir plusieurs symétriques à droite, ou plusieurs symétriques à gauche. y peut même avoir plusieurs symétriques à droite et plusieurs symétriques à gauche.

Si $(E,\top)$ est un monoïde (c'est-à-dire si $\top$ est associative et si E possède un neutre pour cette loi), et si y possède à la fois un symétrique à droite et un symétrique à gauche, alors ils sont égaux et le symétrique est unique. Dans ce cas, l'ensemble des éléments symétrisables de E est un groupe.

Exemples

• Tout nombre réel x possède un symétrique pour l'addition, noté − x. Tout nombre réel non nul possède un symétrique pour la multiplication, noté $\frac 1{x}$.

• Si $(E,+,\times)$ est un anneau unitaire alors $(E,\times)$ est un monoïde, dont le groupe des éléments symétrisables est appelé le groupe des unités (ou groupe des inversibles) de l'anneau et noté U(E) ou $E^\times$.

• Si E est l'anneau des matrices carrées de taille fixée à coefficients dans un corps K, son groupe des inversibles est le groupe linéaire, constitué des matrices de déterminant non nul. Si le déterminant de M est égal à zéro, elle ne possède aucun symétrique, à gauche comme à droite ; l'existence d'un symétrique à gauche ou à droite implique dans ce cas l'existence d'un symétrique.

• De façon générale, une matrice carrée sur un anneau commutatif A est inversible si et seulement si son déterminant est inversible dans A.

Voir aussi

Inverse (homonymie)