Élément permis


Élément permis

Élément absorbant

En mathématiques, un élément absorbant (ou élément permis) d'un ensemble pour une loi de composition interne est un élément de cet ensemble qui transforme tous les autres éléments en l'élément absorbant lorsqu'il est combiné avec eux par cette loi.

Sommaire

Définition

Soit (E,\top) un magma. Soit a\in E.

  • a est dit élément absorbant à gauche si \forall x \in E,\quad a \top x = a;
  • a est dit élément absorbant à droite si \forall x \in E,\quad x \top a = a;
  • a est dit élément absorbant s'il est absorbant à droite et à gauche.

Propriétés

  • Dans un magma donné, l'élément absorbant, s'il existe, est unique. En effet, si a1 et a2 sont deux éléments absorbants, a_1 = a_1 \top a_2 = a_2.
  • En revanche, plusieurs éléments absorbants à gauche ou à droite peuvent exister dans un magma donné, mais s'il existe plus d'un élément absorbant à gauche, il n'en existe aucun à droite. En effet, supposons a1 et a2 deux éléments absorbants à gauche, et b un élément absorbant à droite: a_1 = a_1 \top b = b = a_2 \top b = a_2. Par symétrie, s'il existe plus d'un élément absorbant à droite, il n'en existe aucun à gauche.
  • Si un magma a un élément absorbant à gauche et un élément absorbant à droite, ces deux éléments sont égaux et le magma a un élément absorbant. En effet, si a1 est absorbant à gauche et a2 absorbant à droite, a_1 = a_1 \top a_2 = a_2.
  • L'élément absorbant d'une loi de composition interne est idempotent par cette loi : a\top a = a.

Exemples

Voir aussi

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