Élément inverse


Élément inverse

Inverse

En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x = 1, si 1 désigne l’élément neutre.

La notion d’inverse est primordiale en algèbre. Le simple fait que tous les éléments d’un monoïde aient un inverse, par exemple, fait de ce monoïde un groupe.

Si la loi est associative, alors tout élément inversible x de l'ensemble considéré admet un unique inverse, noté x⁻¹ ou \scriptstyle \frac{1}{x}.

Exemples.

  • L'inverse de 2 dans l'ensemble ℝ des nombres rationnels est 1/2 ou encore 0,5.
  • L'inverse de l'imaginaire pur i est -i car i·(-i) = 1.
  • L'inverse d'une fonction f, si elle est bijective, est la fonction g telle que f o g = g o f = id, où « id » désigne la fonction identité sur l’ensemble de définition de f.
  • L’inverse d’un élément pour l’addition est son opposé.

Souvent, la loi noté multiplicativement est la deuxième loi d'une structure appelée anneau. Ce cas est traité dans l'article élément inversible.

Voir aussi

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Voir « inverse » sur le Wiktionnaire.

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