Élément absorbant


Élément absorbant

En mathématiques, un élément absorbant (ou élément permis) d'un ensemble pour une loi de composition interne est un élément de cet ensemble qui transforme tous les autres éléments en l'élément absorbant lorsqu'il est combiné avec eux par cette loi.

Sommaire

Définition

Soit (E,\top) un magma. Soit a\in E.

  • a est dit élément absorbant à gauche si \forall x \in E,\quad a \top x = a;
  • a est dit élément absorbant à droite si \forall x \in E,\quad x \top a = a;
  • a est dit élément absorbant s'il est absorbant à droite et à gauche.

Propriétés

  • Dans un magma donné, l'élément absorbant, s'il existe, est unique. En effet, si a1 et a2 sont deux éléments absorbants, a_1 = a_1 \top a_2 = a_2.
  • En revanche, plusieurs éléments absorbants à gauche ou à droite peuvent exister dans un magma donné, mais s'il existe plus d'un élément absorbant à gauche, il n'en existe aucun à droite. En effet, supposons a1 et a2 deux éléments absorbants à gauche, et b un élément absorbant à droite: a_1 = a_1 \top b = b = a_2 \top b = a_2. Par symétrie, s'il existe plus d'un élément absorbant à droite, il n'en existe aucun à gauche.
  • Si un magma a un élément absorbant à gauche et un élément absorbant à droite, ces deux éléments sont égaux et le magma a un élément absorbant. En effet, si a1 est absorbant à gauche et a2 absorbant à droite, a_1 = a_1 \top a_2 = a_2.
  • L'élément absorbant d'une loi de composition interne est idempotent par cette loi : a\top a = a.
  • Dans un anneau (A, +, ×), l'élément neutre de + est élément absorbant de ×.
    • Démonstration : \forall x,y  \in  A,  x  \times  y=(x+0)  \times  y (parce que x = (x + 0)) et (x+0)  \times  y = x  \times  y + 0  \times  y, d'où x  \times  y = x  \times  y + 0  \times  y, d'où 0 = 0  \times  y. De même pour l'autre côté si l'anneau n'est pas commutatif.

Exemples

  • L'élément absorbant de la multiplication entre des nombres réels est le zéro : a\cdot 0 = 0\cdot a = 0 (c'est d'ailleurs un exemple d'élément neutre de la première loi de l'anneau, absorbant pour la seconde). De façon analogue, le vecteur nul est élément absorbant pour le produit vectoriel et l'ensemble vide est élément absorbant pour l'intersection d'ensembles.
  • L'élément absorbant de la disjonction est VRAI et celui de la conjonction est FAUX
  • Pour tout ensemble E, sur l'ensemble des parties P(E), E est élément absorbant pour la réunion d'ensembles.
  • Le seul groupe possédant un élément absorbant est le groupe trivial.
  • En considèrant l'ensemble des fonctions définies sur \mathbb{R} à valeur dans \mathbb{R}, doté de la loi \top : (f,g) \to f \circ g, les éléments absorbants à gauche sont les fonctions constantes. Et il n'existe pas d'élément absorbant à droite.

Voir aussi


Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Élément absorbant de Wikipédia en français (auteurs)

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Element absorbant — Élément absorbant En mathématiques, un élément absorbant (ou élément permis) d un ensemble pour une loi de composition interne est un élément de cet ensemble qui transforme tous les autres éléments en l élément absorbant lorsqu il est combiné… …   Wikipédia en Français

  • Élément permis — Élément absorbant En mathématiques, un élément absorbant (ou élément permis) d un ensemble pour une loi de composition interne est un élément de cet ensemble qui transforme tous les autres éléments en l élément absorbant lorsqu il est combiné… …   Wikipédia en Français

  • Element neutre — Élément neutre En mathématiques, un élément neutre (ou élément identité) d un ensemble pour une loi de composition interne est un élément de cet ensemble qui laisse tous les autres éléments inchangés lorsqu il est combiné avec eux par cette loi.… …   Wikipédia en Français

  • Element (mathematiques) — Élément (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir élément. En mathématiques, un ensemble est constitué d objets appelés éléments de cet ensemble, on dit également qu un tel objet appartient à l ensemble en question[Note 1]. On note x ∈ M… …   Wikipédia en Français

  • Absorbant — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Sur les autres projets Wikimedia : « Absorbant », sur le Wiktionnaire (dictionnaire universel) L adjectif absorbant fait référence à l… …   Wikipédia en Français

  • Élément neutre — En mathématiques, un élément neutre (ou élément identité) d un ensemble pour une loi de composition interne est un élément de cet ensemble qui laisse tous les autres éléments inchangés lorsqu il est combiné avec eux par cette loi. Un ensemble… …   Wikipédia en Français

  • Élément (mathématiques) — Pour les articles homonymes, voir élément. En mathématiques, un ensemble est constitué d objets appelés éléments de cet ensemble, on dit également qu un tel objet appartient à l ensemble en question[Note 1]. On note x ∈ M pour « x est… …   Wikipédia en Français

  • Absorbant neutronique — En physique nucléaire, un absorbant neutronique est en général un matériau qui présente une section efficace importante vis à vis de la capture de neutrons, et a de ce fait un impact significatif dans le bilan neutronique d un réacteur nucléaire …   Wikipédia en Français

  • Unifère — Élément neutre En mathématiques, un élément neutre (ou élément identité) d un ensemble pour une loi de composition interne est un élément de cet ensemble qui laisse tous les autres éléments inchangés lorsqu il est combiné avec eux par cette loi.… …   Wikipédia en Français

  • Loi De Composition Interne — L’algèbre est la branche des mathématiques qui s’intéresse aux ensembles et aux relations qui peuvent y être établies. Elle recherche les conséquences générales qui découlent des propriétés de ces relations, indépendamment de la nature précise… …   Wikipédia en Français