Zero d'une fonction holomorphe

Zéro d'une fonction holomorphe

En analyse complexe, on appelle zéro d'une fonction analytique ou holomorphe f un nombre complexe a tel que f(a) = 0.

Ordre de multiplicité d'un zéro isolé

Soient $\ U$ un ouvert (non vide) de $\mathbb{C}$ et une fonction analytique $\ f : U \to \mathbb{C}$.

On considère un zéro $\ a$ de $\ f$. Il existe un disque ouvert $\mathrm{D}(a,\, r)$ inclus dans $\ U$ où $\ f$ se développe en série entière (de rayon de convergence au moins égal à $\ r$):

$\forall\, z \in \mathrm{D}(a,\, r),\, f(z) = \sum_{k = 1}^{+\infty} \alpha_k\, (z - a)^k$ (le terme constant est $\ \alpha_0 = f(a) = 0$).

Deux cas (seulement) sont possibles :

• Si pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, $\ \alpha_k = 0$, alors

$\forall\, z \in \mathrm{D}(a,\, r),\, f(z) = 0$ : $\ f$ est identiquement nulle sur $\mathrm{D}(a,\, r)$; $\ a$ est donc dans ce cas un zéro non isolé.

• Dans le cas contraire, soit $\ n$ l'indice du premier coefficient non nul de la série entière ($\ n \geq 1$ et $\ \alpha_n \neq 0$) : on peut écrire

$\forall\, z \in \mathrm{D}(a,\, r),\, f(z) = \sum_{k = n}^{+\infty} \alpha_k\, (z - a)^k = (z - a)^n\, g(z)$, où

$\forall\, z \in \mathrm{D}(a,\, r),\, g(z) = \sum_{\ell = 0}^{+\infty} \alpha_{\ell + n}\, (z - a)^\ell$

La fonction $g : \mathrm{D}(a,\, r) \to \mathbb{C}$ ainsi définie est analytique et $\ g(a) = \alpha_n \neq 0$.

Par continuité de $\ g$ en $\ a$:

il existe un réel strictement positif $\ r_1$ tel que $\mathrm{D}(a,\, r_1) \subset \mathrm{D}(a,\, r)$ et tel que $\forall\, z \in \mathrm{D}(a,\, r_1),\, g(z) \neq 0$.

Finalement :

$\forall\, z \in \mathrm{D}(a,\, r_1),\, f(z) = (z - a)^n\, g(z)$ et $\forall\, z \in \mathrm{D}(a,\, r_1),\, g(z) \neq 0$.

On en déduit que $\ a$ est le seul point de $\mathrm{D}(a,\, r_1)$ où $\ f$ s'annule ; $\ a$ est donc dans ce cas un zéro isolé.

On peut alors énoncer :

Théorème et définition

Un élément $\ a$ de $\ U$ est un zéro isolé de la fonction analytique $\ f$ si et seulement s'il existe :

• un entier $\ n$ strictement positif
• un disque ouvert $\mathrm{D}(a,\, r)$ inclus dans $\ U$
• une fonction analytique $g : \mathrm{D}(a,\, r) \to \mathbb{C}$ telle que $\ g(a) \neq 0$ et $\forall\, z \in \mathrm{D}(a,\, r),\, f(z) = (z - a)^n\, g(z)$

Dans ce cas, l'entier (unique) $\ n$ est appelé ordre de multiplicité (ou multiplicité) du zéro isolé $\ a$.
Lorsque $\ n = 1$, on dit que $\ a$ est un zéro simple.

Remarque

• L'ordre de multiplicité n'est défini que pour les zéros isolés d'une fonction analytique.
• On définit en algèbre la notion analogue d'ordre de multiplicité d'une racine d'un polynôme non nul, dont celle qui vient d'être définie constitue une généralisation.

Compte tenu de ce que (avec les notations déjà utilisées) $\ \alpha_k = \frac{f^{(k)}(a)}{k\,!}$ pour tout $\ k \in \mathbb{N}$ et de ce que l'ordre de multiplicité d'un zéro isolé $\ a$ est l'indice du premier coefficient non nul du développement de $\ f$ en série entière au voisinage de $\ a$, on peut donner la caractérisation suivante de l'ordre de multiplicité :

Propriété

Soient $\ a$ un élément de $\ U$ et $\ n$ un entier naturel non nul.
Pour que $\ a$ soit un zéro isolé d'ordre $\ n$ de la fonction analytique $\ f$, il faut et il suffit que :

• pour tout entier $\ k$ tel que $\ 0 \leq k \leq n - 1$, $\ f^{(k)}(a) = 0$
  

et

• $\ f^{(n)}(a) \neq 0$

Exemple

Soient $\ a \in \mathbb{C}$ et $\ f : \mathbb{C} \to \mathbb{C},\, z \mapsto \exp(z) - \exp(a) - (z - a)\, \exp(a)$. Cette fonction est entière (c'est-à-dire holomorphe sur $\ \mathbb{C}$ ) et $\ a$ en est un zéro isolé d'ordre 2.

On vérifie en effet que $\ f(a) = f\,'(a) = 0$ et $\ f\,''(a) \neq 0$.

Applications

Soient $\ U$ un ouvert de $\mathbb{C}$ et une fonction analytique $\ f : U \to \mathbb{C}$.

1. Compte tenu de la caractérisation des zéros isolés par les dérivées successives, on peut affirmer : pour qu'un zéro $\ a$ de $\ f$ soit non isolé, il faut et il suffit que $\ f^{(k)}(a) = 0$ pour tout $\ k \in \mathbb{N}$.
2. L'étude faite plus haut a montré la propriété suivante :

Principe des zéros isolés

Si $\ a$ est un zéro non isolé de la fonction analytique $\ f$, alors il existe un disque ouvert $\mathrm{D}(a,\, r)$ inclus dans $\ U$ sur lequel $\ f$ est nulle.

On en déduit le

Principe du prolongement analytique

Soient $\ U$ un ouvert connexe de $\mathbb{C}$ et deux fonctions $\ f_1,\, f_2$ analytiques sur $\ U$.
S'il existe dans l'ensemble $\ \{z \in U\, /\, f_1(z) = f_2(z)\}$ au moins un point $\ a$ non isolé, alors $\forall\, z \in U,\, f_1(z) = f_2(z)$.

On l'énonce souvent sous la forme suivante :

Soient $\ U$ un ouvert connexe de $\mathbb{C}$, deux fonctions $\ f_1,\, f_2$ analytiques sur $\ U$ et $\ a \in U$.
S'il existe une suite $\ (z_n)$ à termes dans $\ U \setminus \{a\}$, convergeant vers $\ a$, telle que pour tout $\ n \in \mathbb{N}$, $\ f_1(z_n) = f_2(z_n)$,
alors $\forall\, z \in U,\, f_1(z) = f_2(z)$.

On peut interpréter ainsi ce théorème : si deux fonctions analytiques sur un ouvert connexe prennent les mêmes valeurs sur un sous-ensemble dont certains points sont assez "resserrés", alors elles sont égales.

Démonstration

Soit $\ A$ l'ensemble des zéros non isolés de la fonction analytique $\ f = f_1 - f_2$ :

• c'est un sous-ensemble non vide de $\ U$, car $\ a \in A$
• il est fermé. En effet d'après 1., $\ A = \bigcap_{k \in \mathbb{N}} A_k$, où pour tout $\ k \in \mathbb{N}$, $\ A_k = \{z \in U\, /\, f^{(k)}(z) = 0\}$ ; chaque $\ A_k$ est fermé (image réciproque du fermé {0} par la fonction continue $\ f^{(k)}$), donc $\ A$ est une intersection de fermés ;
• il est ouvert. En effet, si $\ a \in A$, il existe (principe des zéros isolés) un disque ouvert $\ \mathrm{D}(a,\, r)$ inclus dans $\ U$ sur lequel $\ f$ est nulle : tous les points de ce disque sont donc des zéros non isolés de $\ f$, ce qui prouve que $\ \mathrm{D}(a,\, r) \subset A$ ;
• comme $\ U$ est connexe, il résulte des 3 points précédents que $\ A = U$, donc $\ f$ est nulle sur $\ U$, autrement dit, $\ f_1 = f_2$.

Exemple

Soit $\ U$ un ouvert connexe de $\ \mathbb{C}$ contenant un intervalle $\ I$ de $\ \R$ non réduit à un point : les points de $\ I$ sont non isolés.
Si les fonctions $\ f_1,\, f_2$ sont analytiques sur $\ U$ et telles que pour tout $\ x \in I,\, f_1(x) = f_2(x)$, alors $\ f_1 = f_2$ ;
autrement dit, pour tout $\ z \in U,\, f_1(z) = f_2(z)$.

Cela signifie qu'une fonction $\ I \to \R$ admet au plus un prolongement analytique à un ouvert connexe $\ U$ de $\ \mathbb{C}$ contenant $\ I$.

• Ainsi, la fonction exponentielle complexe est le seul prolongement analytique à $\ \mathbb{C}$ de la fonction exponentielle réelle.
• On suppose connue l'identité $\ \exp(x + y) = \exp(x) \exp(y)$ pour tout couple de réels. On peut l'étendre par prolongement analytique à un couple quelconque de nombres complexes. En effet :
  • Soit $\ y \in \R$ (quelconque). On définit sur $\mathbb{C}$ (ouvert connexe) deux fonctions analytiques $\ f_1,\, f_2$ en posant $\ f_1(z) = \exp(z + y)$ et $\ f_2(z) = \exp(z) \exp(y)$. Pour tout $\ x \in \R,\, f_1(x) = f_2(x)$, donc (principe du prolongement analytique), pour tout $\ z \in \mathbb{C},\, f_1(z) = f_2(z)$, ou $\ \exp(z + y) = \exp(z) \exp(y)$.
  • Ceci prouve : quels que soient $\ z \in \mathbb{C}$ et $\ y \in \R$, $\ \exp(z + y) = \exp(z) \exp(y)$.
  • Soit $\ z \in \mathbb{C}$ (quelconque). On définit sur $\mathbb{C}$ (ouvert connexe) deux fonctions analytiques $\ f_3,\, f_4$ en posant $\ f_3(u) = \exp(z + u)$ et $\ f_4(u) = \exp(z) \exp(u)$. Pour tout $\ y \in \R,\, f_3(y) = f_4(y)$ (voir supra), donc (principe du prolongement analytique), pour tout $\ u \in \mathbb{C},\, f_3(u) = f_4(u)$, ou $\ \exp(z + u) = \exp(z) \exp(u)$.
  • Ceci prouve : quels que soient $\ z \in \mathbb{C}$ et $\ u \in \mathbb{C}$, $\ \exp(z + u) = \exp(z) \exp(u)$.

Voir aussi

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