Wavelet


Wavelet

Ondelette

En mathématiques, une ondelette est une fonction de carré sommable sur l'espace euclidien \mathbb{R}^n, le plus souvent oscillante et de moyenne nulle, choisie comme outil d'analyse et de reconstruction multi-échelle. Les ondelettes se rencontrent généralement par familles, consistuées d'une ondelettes mère et de l'ensemble de ses images par les éléments d'un sous-groupe Λ du groupe des transformations affines de \mathbb{R}^n. Par extension, des familles de fonctions sur des sous-variétés de \mathbb{R}^n invariantes par un groupe de transformation localement isomorphe au groupe affine peuvent également être qualifiées de familles d'ondelettes.

Analyser une fonction de carré sommable en ondelettes consiste à calculer l'ensemble de ses produits scalaires avec les ondelettes de la famille. Les nombres obtenus sont appelés coefficients d'ondelettes, et l'opération associant à une fonction ses coefficients d'ondelettes est appelée transformée en ondelettes.

Le terme ondelette est utilisé dans un sens plus vague en traitement du signal, pour désigner tout signal qui vaut initialement zéro, oscille ensuite pendant un temps fini, et revient finalement à zéro. Il a été introduit dans le langage mathématique par Jean Morlet et Alex Grossmann au début des années 1980. Terme initialement français, il a été ensuite traduit en anglais par wavelet, avec le terme wave (onde) et le diminutif let (petite).

La différence avec la transformée de Fourier est que celle-ci repose sur des fonctions sinusoïdales, périodiques et à support infini, qui ne permettent pas de jouer sur le facteur de translation : on ne peut décomposer qu'en fréquences (alors que les ondelettes permettent de décomposer en fréquences et en temps). En particulier, ceci permet souvent une meilleure analyse des fonctions présentant des discontinuités ou des phénomènes locaux. C'est, par exemple, le cas des contours dans les images, ce qui explique l'adoption d'une décomposition en ondelettes dans le standard de compression d'image JPEG 2000.

On distingue deux types de transformées en ondelettes suivant que le sous-groupe Λ est discret ou continu:

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