Vecteur normal

Vecteur normal

Normale à une surface

Un plan et deux vecteurs normaux.

En géométrie, la droite normale à une surface en un point est la droite orthogonale au plan tangent en ce point. Les vecteurs directeurs de cette droite sont appelés vecteurs normaux à la surface.

Une convention fréquente pour les surfaces fermées est de particulariser un vecteur normal unitaire, vecteur de norme 1 et orienté vers l'extérieur.

Plus généralement, il est possible de considérer les vecteurs normaux à une hypersurface dans un espace euclidien, voire dans une variété riemannienne.

Sommaire

Exemple : le plan en dimension 3

Dans un espace euclidien de dimension trois, on peut l'obtenir simplement par le produit vectoriel de deux vecteurs directeurs du plan. Soit un plan défini par le point A(a_1;a_2;a_3)\, et les vecteurs \vec u = \begin{bmatrix}u_1\\ u_2\\ u_3\end{bmatrix} et \vec v = \begin{bmatrix}v_1\\ v_2\\ v_3\end{bmatrix}. Son système d'équations paramétriques est :

\begin{cases} x = a_1 + \lambda u_1 + \mu v_1 \\ y = a_2 + \lambda u_2 + \mu v_2 \\ z = a_3 + \lambda u_3 + \mu v_3\end{cases}

Soit \vec w = \vec u \times \vec v le vecteur résultat du produit vectoriel. Le vecteur normal au plan est :

\vec n = \frac{\vec w}{\|\vec w\|} ou \vec n = -\frac{\vec w}{\|\vec w\|}

Si le plan est défini par son équation cartésienne :

Ax + By + Cz + D = 0

Son vecteur normal est :

\vec n = \begin{bmatrix}A\\B\\C\end{bmatrix}

et son vecteur normal unitaire est :

\vec n = \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \cdot \begin{bmatrix}A\\B\\C\end{bmatrix}

Vecteur normal en un point régulier

Soit une surface définie par un paramétrage

M(u,v)=\bigl(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\bigr)

avec des fonctions x,y,z de classe C1. Le point de paramètre (u,v) est dit régulier lorsque les vecteurs dérivés partiels en ce point sont indépendants. On peut alors former leur produit vectoriel

N(u,v)=\frac{\partial M}{\partial u}(u,v) \wedge \frac{\partial M}{\partial v}(u,v)

qui constitue un vecteur normal à la surface (non nécessairement unitaire).

Lien avec le gradient

Si la surface est donnée par une équation cartésienne f(x,y,z)=0, avec une fonction f de classe C1, un point de la surface est dit régulier si le gradient de f est non nul en ce point. C'est alors le vecteur gradient lui-même qui constitue un vecteur normal.

La démonstration formelle de ce résultat fait intervenir le théorème des fonctions implicites. Il est toutefois possible d'en donner une approche simplifiée à l'aide de la notion de "variations infinitésimales".

En effet, si on se place en un point M(x,y,z) de la surface, sur son voisinage, la fonction f garde toujours la même valeur : 0. Par conséquent, sa variation infinitésimale lors d'un déplacement sur la surface défini par le vecteur \vec{dl} = (dx, dy, dz) est nulle : df = 0.

Or, par définition du gradient, on a df = \vec{grad(f)}.\vec{dl}. Puisque ce produit scalaire est nul, le gradient en M est bien perpendiculaire à la surface en ce point.

Champ de normales

Un champ de normales (normales en plusieurs points) à une forme permet de retrouver sa surface tridimensionnelle, en passant par une étape d'intégration de ce champ.

Voir aussi

Liens internes

  • Portail de la géométrie Portail de la géométrie
Ce document provient de « Normale %C3%A0 une surface ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Vecteur normal de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать реферат

Regardez d'autres dictionnaires:

  • vecteur normal — normalės vektorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. normal vector vok. Normalenvektor, m rus. вектор нормали, m pranc. vecteur de la normale, m; vecteur normal, m …   Fizikos terminų žodynas

  • normal — normal, ale, aux [ nɔrmal, o ] adj. et n. f. • 1753; verbe normal h. XVe; lat. normalis, de norma « équerre » 1 ♦ Math. Droite normale, ou n. f. la normale à une courbe, à une surface en un point : droite perpendiculaire à la tangente, au plan… …   Encyclopédie Universelle

  • Vecteur de Pointing — Vecteur de Poynting Le vecteur de Poynting, noté Π, S, ou encore R est un vecteur dont la direction indique, dans un milieu isotrope, la direction de propagation d une onde électromagnétique et dont l intensité vaut la densité de puissance… …   Wikipédia en Français

  • Vecteur de poynting — Le vecteur de Poynting, noté Π, S, ou encore R est un vecteur dont la direction indique, dans un milieu isotrope, la direction de propagation d une onde électromagnétique et dont l intensité vaut la densité de puissance véhiculée par cette onde.… …   Wikipédia en Français

  • Normal — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Sur les autres projets Wikimedia : « Normal », sur le Wiktionnaire (dictionnaire universel) Le mot normal (au féminin normale) est un… …   Wikipédia en Français

  • Vecteur de Poynting — Le vecteur de Poynting, noté Π, S, ou encore R est un vecteur dont la direction indique, dans un milieu isotrope, la direction de propagation d une onde électromagnétique et dont l intensité vaut la densité de puissance véhiculée par cette onde.… …   Wikipédia en Français

  • vecteur de la normale — normalės vektorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. normal vector vok. Normalenvektor, m rus. вектор нормали, m pranc. vecteur de la normale, m; vecteur normal, m …   Fizikos terminų žodynas

  • Vecteur densite de courant — Densité de courant Pour les articles homonymes, voir densité (homonymie). La densité de courant est un objet qui décrit le courant électrique qui circule à l échelle locale, en un point d un matériau. Mathématiquement, il s agit d un champ de… …   Wikipédia en Français

  • Vecteur densité de courant — Densité de courant Pour les articles homonymes, voir densité (homonymie). La densité de courant est un objet qui décrit le courant électrique qui circule à l échelle locale, en un point d un matériau. Mathématiquement, il s agit d un champ de… …   Wikipédia en Français

  • Vecteur densité volumique de courant — Densité de courant Pour les articles homonymes, voir densité (homonymie). La densité de courant est un objet qui décrit le courant électrique qui circule à l échelle locale, en un point d un matériau. Mathématiquement, il s agit d un champ de… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”