Variété parallélisable

Une variété différentielle M de classe C^k est dite parallélisable s'il existe un espace vectoriel E et une forme différentielle $\omega \in \Lambda ^{1} \left( M^{*} , E \right) = \{ \omega : TM \longrightarrow E \text{ , de classe }C^{k-1} \text{et lineaire sur chaque } T_x M \}$ telle que pour tout $x \in M$ , $\omega _x : T_xM \longrightarrow E$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels.

Propriétés

Pour tout point de la variété M il existe un voisinage ouvert qui, considéré comme une sous-variété, est parallélisable.
Le problème de savoir si une variété est ou non parallélisable dépend de méthodes de la topologie algébrique.

Exemple et contre-exemple

Le tore de dimension 2, muni de la structure de variété habituelle, est parallélisable.
La sphère de dimension 2, munie de la structure de variété habituelle, n'est pas parallélisable.

Voir aussi

• Fibré tangent

Source

Géométrie différentielle intrinsèque par Paul Malliavin, Hermann Éditeur, 1972