Variété complexe

Variété complexe

Les variétés complexes ou plus généralement les espaces analytiques complexes sont les objets d'étude de la géométrie analytique complexe. Par définition, une variété complexe est un espace topologique obtenu par recollement d'ouverts de Cn (avec un unique n si l'espace topologique est connexe) selon des biholomorphismes (c'est-à-dire des bijections holomorphes dont l'inverse est holomorphe). Plus précisément, une variété complexe est un espace topologique dénombrable à l'infini possédant un atlas de cartes sur Cn, tel que les applications de changement de cartes soient des biholomorphismes. L'entier n est alors appelé la dimension de la variété complexe.

Ainsi, les variétés complexes sont définies de façon analogue aux variétés différentielles. Toute variété complexe de dimension n possède une unique structure de variété différentielle de dimension 2n et orientable.

Les variétés complexes de dimension 1 sont appelées surfaces de Riemann.

Si X est une variété algébrique non-singulière sur C, alors on peut la munir canoniquement d'une strucutre de variété complexe. Par exemple, l'espace projectif \mathbb P^n(C) est une variété complexe compacte de dimension n.

Si X et Y sont deux variétés complexes, une application de X dans Y est dite holomorphe lorsque, lue dans les cartes holomorphes, elle est holomorphe.

Les fonctions holomorphes d'une variété complexe compacte connexe dans C sont constantes, conséquence du principe du maximum.


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