Uplet

N-uplet

En mathématiques, si n est un entier naturel non nul alors un n-uplet est une collection ordonnée de n objets. Les éléments sont aussi appelés composantes.

Si nous notons a₁ le premier élément, a₂ le deuxième élément, ..., a_n le nème élément, le n-uplet s'écrit : $(a_1, a_2, \cdots, a_n)$.

L'égalité des n-uplets se définit par

$(a_1,a_2,\cdots,a_n)=(b_1,b_2,\cdots,b_n) \Longleftrightarrow a_1=b_1, a_2=b_2, \cdots, a_n=b_n$.

Un 2-uplet est un couple, un 3-uplet est un triplet, un 4-uplet est un quadruplet, un 5-uplet est un quintuplet, ...

Si $E_1, \cdots, E_n$ sont des ensembles alors l'ensemble des n-uplets $(a_1, a_2, \cdots, a_n)$, où $a_1 \in E_1, \cdots, a_n \in E_n$, est le produit cartésien des ensembles $E_1, \cdots, E_n$.

Exemples

• Les nombres complexes sont construits à partir de couples de réels.
• Les points de l'espace vectoriel ordinaire sont représentés par des triplets de réels.
• Un quaternion peut être représenté par un quadruplet.
• En informatique théorique, un automate fini est représenté par un quintuplet.

Formalisation

Formellement, un n-uplet peut être défini en termes d'ensemble par

$(a_1, a_2, \cdots, a_n) = \{a_1,\{a_1,\{a_2,\{a_2,\{a_3,\{a_3,\cdots,\{a_{n-1},\{a_{n-1},a_n\}\}\cdots\}\}\}\}$

ou en utilisant une définition récursive :

1. un 1-uplet (a₁) est simplement a₁;
2. si x est un n-uplet, alors (x,a_{n + 1}) (i.e. {x,{x,a_{n + 1}}}) est un (n+1)-uplet.

Il est assez facile de démontrer que ces définitions sont équivalentes, cependant les ensembles obtenus sont très différents.

Programmation

Beaucoup de langages de programmation supportent les n-uplets comme type de donnée, formés aussi bien d'objets tous de même type ou d'objets de types différents.

Le langage de programmation LISP a utilisé dès ses débuts la notion abstraite de paire pour créer toutes ses structures de n-uplets et de listes, de manière similaire à la définition récursive précédente.

Voir aussi

• Produit cartésien

Ce document provient de « N-uplet ».