Unicite (mathematiques)


Unicite (mathematiques)

Unicité (mathématiques)

D'une manière générale, l'unicité décrit pour un objet le fait d'être unique.

Ce mot est principalement utilisé en mathématiques. Démontrer l'unicité d'un objet vérifiant une certaine propriété P consiste à prouver qu'il n'existe pas deux objets différents vérifiant tous deux P. Pour cela la démarche naturelle est de supposer qu'il existe deux éléments x et y vérifiant P et de montrer que x = y.

Il existe une Notation permettant d'écrire l'existence et l'unicité d'un objet : \exists ! , qui se lit « Il existe un(e) unique... ». Elle a été formée à partir du quantificateur existentiel \exists, qui lui se lit « Il existe... »

Il convient de distinguer existence et unicité : prouver l'unicité d'un objet mathématique ne préjuge pas de son existence. Par exemple la propriété P(x) = " x réel et x^2 = -1 " n'admet pas un unique x vérifiant P, sans pour autant que cet x existe. En effet si x vérifie P alors -x aussi.

Exemple

Un espace topologique est dit séparé si et seulement si on a unicité de la limite de toute suite dans cet espace : si une suite converge, sa limite est unique. Mais une suite peut ne pas avoir de limite (dans ce cas, on n'a pas existence de la limite, ce qui ne remet pas en cause l'unicité).
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