Triple produit de Jacobi

En mathématiques, le triple produit de Jacobi est une relation qui exprime les fonctions thêta de Jacobi, normalement écrites sous forme de séries, comme un produit. Cette relation généralise plusieurs autres résultats, tels que le théorème du nombre pentagonal.

Soit x et y des nombres complexes, avec |x| < 1 et y non nul. Alors

$\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{2m}\right) \left( 1 + x^{2m-1} y^2\right) \left( 1 + x^{2m-1} y^{-2}\right) = \sum_{n=-\infty}^\infty x^{n^2} y^{2n}.$

Ceci peut être vu comme une relation faisant intervenir les fonctions thêta ; prenons x = exp(iπτ) et y = exp(iπz) on peut voir que le membre de droite est :

$\vartheta(z; \tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty \exp (i\pi n^2 \tau + 2i \pi n z)$.

Le théorème du nombre pentagonal d'Euler en découle en prenant x = q^{3 / 2} et ${}^{y^2=-\sqrt q}$. On obtient alors :

$\phi(q) = \prod_{m=1}^\infty \left(1-q^m \right) = \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{(3n^2-n)/2}.\,$

La triple produit de Jacobi prend une forme particulièrement élégante lorsqu'il est exprimé avec la fonction thêta de Ramanujan (en). Il revêt également une forme très compacte sous forme de modifier] Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Jacobi triple product » (voir la liste des auteurs)
• (en) Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, 1976, Springer (ISBN 978-0-387-90163-3), chap. 14, th. 14.6.
• Daniel Duverney, Théorie des nombres, cours et exercices corrigés, Dunod