Tribu produit

Définition

Étant donnés deux espaces mesurables $\scriptstyle(\Omega_1,\mathcal T_1)$ et $\scriptstyle(\Omega_2,\mathcal T_2)$, la tribu produit, notée $\scriptstyle\mathcal T_1\times\mathcal T_2$, permet de donner une structure d'espace mesurable à l'ensemble produit $\scriptstyle\Omega_1\times\Omega_2$ ; elle est définie de la façon suivante :

• $\scriptstyle\mathcal T_1\times\mathcal T_2$ est la tribu engendrée par les pavés mesurables $\scriptstyle R=R_1\times R_2$ où $\scriptstyle R_1\in \mathcal T_1, R_2\in\mathcal T_2$ ou, de manière équivalente, la plus petite tribu contenant les pavés mesurables ;
• on peut la définir aussi comme la plus petite tribu rendant mesurables les projections pr₁ et pr₂ définies par : $\scriptstyle pr_i(\omega_1,\omega_2)=\omega_i, \ i=1, 2$.

On montre très facilement qu'une application f, définie sur un espace mesurable $\scriptstyle(\Omega,\mathcal A)$ à valeurs dans l'espace produit $\scriptstyle(E_1\times E_2,\mathcal T_1\times\mathcal T_2)$, est mesurable pour la tribu produit si et seulement si les applications coordonnées f_i sont, chacune, mesurables pour les tribus $\scriptstyle\mathcal T_i$.

Le lemme de transport permet de montrer que les applications y↦(x,y) (pour x fixé) et x↦(x,y) (pour y fixé) sont aussi mesurables.

Exemple : tribu borélienne produit

Étant donnés deux espaces topologiques $\scriptstyle(\Omega_1,\mathcal O_1)$ et $\scriptstyle(\Omega_2,\mathcal O_2)$ munies de leurs tribus boréliennes respectives $\scriptstyle\mathcal B_1$ et $\scriptstyle\mathcal B_2$. Il y a alors deux façons naturelles de donner au produit $\scriptstyle\Omega_1\times\Omega_2$ une structure d'espace mesurable :

1. à partir de la tribu produit $\scriptstyle\mathcal B_1\times\mathcal B_2$
2. à partir de la tribu borélienne engendrée par la topologie produit $\scriptstyle\mathcal O_1\times\mathcal O_2$, notée $\scriptstyle\mathcal B(\mathcal O_1\times\mathcal O_2)$.

• On a toujours : $\scriptstyle\mathcal B_1\times\mathcal B_2\subset\mathcal B(\mathcal O_1\times\mathcal O_2)$.

En effet, les projections pr_i sont continues pour la topologie produit, donc mesurables pour la tribu borélienne ; la tribu produit étant la plus petite tribu rendant mesurables les projections on obtient l'inclusion désirée.

• Si les espaces topologiques $\scriptstyle(\Omega_i,\mathcal O_i)$ sont à base dénombrable alors $\scriptstyle\mathcal B_1\times\mathcal B_2=\mathcal B(\mathcal O_1\times\mathcal O_2)$.

En effet, soit U un ouvert de $\scriptstyle\mathcal O_1\times\mathcal O_2$, alors U est une union dénombrable de pavés mesurables de la forme $\scriptstyle U_1\times U_2$ (car ils forment une base dénombrable de la topologie produit) : par conséquent $\scriptstyle U\in\mathcal B_1\times\mathcal B_2,$ d'où $\scriptstyle\mathcal B(\mathcal O_1\times\mathcal O_2) \subset\mathcal B_1\times\mathcal B_2$.

Produit de n tribus

Le produit d'un nombre fini, disons n, de tribus se définit de façon similaire : il s'agit de la plus petite tribu contenant les pavés mesurables $\scriptstyle R_1\times\ldots\times R_n$. Les propriétés énoncées pour le produit de deux tribus s'étendent sans difficulté au cas de n tribus.

Produit dénombrable de tribus

Si on considère maintenant un produit dénombrable d'espaces mesurés $\scriptstyle(\Omega_n,\mathcal T_n)$, la tribu produit $\scriptstyle\times_{n\in\N}\mathcal T_n$, définie sur l'ensemble produit $\scriptstyle\prod_{n\in\N}\Omega_n$, est la tribu engendrée par les ensembles de la forme $\scriptstyle\prod_{n\in\N}R_n$ où où $\scriptstyle R_n\in\mathcal T_n$ et où R_n = Ω_n sauf pour un nombre fini d'indices n.

Voir aussi

Mesure produit