Travail mécanique


Travail mécanique

Travail d'une force

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Le travail d'une force est l'énergie fournie par cette force lorsque son point d'application se déplace (l'objet subissant la force se déplace ou se déforme). Si par exemple on pousse une voiture, le travail de la poussée est l'énergie produite par cette poussée. Le travail est exprimé en joules (J), et est souvent noté W, initiale du mot anglais Work qui signifie travail.

Sommaire

Définition

Une force constante \vec{F} qui s'applique sur un objet parcourant un trajet rectiligne \vec{u} fournit un travail W correspondant à une variation de l'énergie du système mécanique.

W = \vec{F}\cdot \vec{u}

\overrightarrow{F} . \overrightarrow{u}  = F \times u \times \cos(\widehat{F,u})


On remarque que seule la composante de \vec{F} qui est parallèle à \vec{u} travaille (propriété du produit scalaire: le scalaire de 2 forces orthogonales est nul).

Si la force change au cours du trajet, ou si le trajet n'est pas rectiligne, on se ramène à une courte durée dt pendant laquelle la force peut être supposée constante et le trajet parcouru \vec{du} est considéré comme rectiligne (tangent à la courbe) ; ce travail élémentaire est noté δW et vaut :

\delta W = \vec{F} \cdot \vec{du}.

On peut alors obtenir le travail total fourni par la force \vec{F}, en sommant les travaux sur la trajectoire \mathcal{C} parcourue par le point d'application de \vec{F} :

W=\int_{\mathcal{C}}\vec{F}\cdot\vec{du}

Si la trajectoire est circulaire (par exemple dans le cas où le point d'application d'une force est en rotation autour d'un axe (\Delta)\,), alors le travail élémentaire du moment résultant vaut \delta W = \vec{M} \cdot \vec{d\theta}\,, où \vec{M} est le moment de la force par rapport à (\Delta)\, et \vec{d\theta} l'angle parcouru par le solide pendant une courte durée dt.

Cas concrets

Considérons une force \vec{F} constante s'appliquant sur un objet se déplaçant sur une trajectoire rectiligne (Il n'y a pas d'autres forces s'exerçant sur l'objet). Un certain nombre de cas particuliers permettent d'illustrer la notion de travail d'une force :

Quelques cas particuliers du travail d'une force
  • Si la force \vec{F} est parallèle au déplacement \vec{u} et orientée dans le même sens, le travail W = \vec{F}\cdot\vec{u} fourni par la force est positif : d'après le théorème de l’énergie cinétique, la force a augmenté l'énergie cinétique du système, celui-ci se déplace donc plus rapidement. Une telle force est parfois dénommée force motrice.
  • Si    0 < \widehat{(\vec{F},\vec{u})} < 90   , les angles étant en degrés, alors    1 > \cos \widehat{(\vec{F},\vec{u})} > 0   le travail fourni par la force est positif.
    La force est motrice.
      • On peut dire plus simplement que si la force \vec{F} est motrice, elle favorise le déplacement (la vitesse augmente)
  • Si la force \vec{F} est parallèle au déplacement \vec{u} mais orientée dans le sens opposé, le travail W = \vec{F}\cdot\vec{u}, fourni par la force est négatif : d'après le théorème de l’énergie cinétique, la force a diminué l'énergie cinétique du système, celui-ci se déplace donc plus lentement. On appelle parfois une telle force, une force résistante.
  • Si    90 < \widehat{(\vec{F},\vec{u})} < 180   , les angles étant en degrés, alors    0 > \cos \widehat{(\vec{F},\vec{u})} > -1   le travail fourni par la force est négatif.
    La force est résistante.
      • On peut dire plus simplement que si la force \vec{F} est résistante, elle s'oppose au déplacement (la vitesse diminue)
  • Si la force \vec{F} est perpendiculaire au déplacement \vec{u}, le travail de la force est nul W = 0 : la force n'a pas modifié l'énergie cinétique du système.
      • On peut dire plus simplement que si la force \vec{F} est perpendiculaire au déplacement, elle ne modifie pas le déplacement.

Ce dernier cas ne doit pas laisser penser qu'une force dont le travail est nul n'a aucun effet sur un système. Ainsi, dans le cas d'un solide en mouvement circulaire uniforme, la force centripète a un travail nul (le mouvement circulaire uniforme n'est pas modifié). Pour autant, si l'on supprime la force centripète le solide cessera son mouvement circulaire et se déplacera en mouvement rectiligne, conformément à la 1ère loi de Newton.

Mouvement circulaire uniforme


Mouvement circulaire uniforme.
La force centripète qui crée l'accélération du même nom est perpendiculaire au mouvement : son travail est nul.

Les forces dont le travail est nul ne modifient pas l'énergie cinétique du solide. En particulier, elles ne modifient pas la norme de la vitesse ; elles peuvent cependant en modifier la direction.

Travail des forces conservatives : exemple du poids

Article détaillé : force conservative.

Les forces conservatives sont, par définition, des forces dont le travail ne dépend pas du chemin suivi. Le poids en est un exemple.

Considérons un corps de masse m se déplaçant de A vers B dans un repère galiléen \left (O,\vec{x},\vec{y},\vec{z} \right ), l'axe \vec{z} étant supposé vertical et dirigé dans le sens opposé de la gravité : \vec{g}=-g\vec{z}. Dans ce cas, le travail du poids vaut :

W = \vec{P}\cdot \vec{AB} = m\vec{g}\cdot\vec{AB}= -mg\vec{z}\cdot\vec{AB}

Si l'on note \left ( x_A,y_A,z_A \right ) les coordonnées cartésiennes du point A dans ce repère et \left ( x_B,y_B,z_B \right ) celles de B alors les coordonnées des vecteurs \vec{P} et \vec{AB} dans le repère galiléen sont les suivantes :

\vec{P}=-mg\vec{z}

\vec{AB}=\left ( x_B-x_A \right )\vec{x}+\left ( y_B-y_A \right )\vec{y}+\left ( z_B-z_A \right )\vec{z}

et, par définition du produit scalaire, le travail du poids se simplifie de la façon suivante :

W=\vec{P}\cdot \vec{AB} = mg \left ( z_A-z_B \right )

Le travail du poids d'un corps est donc indépendant du chemin suivi lors de son déplacement, il ne dépend que de la variation d'altitude du centre de gravité de ce corps.

Exemple de calcul

Une personne de masse 80 kg monte debout sur une chaise de 50 centimètres de haut. Quel est le travail effectué par le poids de cette personne ?
W = m \ g \left ( z_A-z_B \right ), soit W = 80 \times 9,81 \times ( 0 - 0,5 ) = -  392.4 \ J
Où 9,81 représente la constante g caractéristique de la Terre (en mètres par secondes au carré), 80 la masse en kilogramme et 0,5 la hauteur en mètre.
Le poids est une force résistante dans ce cas (Il "s'oppose" au déplacement de la personne).

Travail des forces de pression

Le travail induit par les forces de pression correspond à la forme de travail la plus courante rencontrée en thermodynamique classique, discipline qui s'est développée avec l'avènement de l'ère industrielle basée essentiellement sur la machine à vapeur.

Le travail mécanique mis en jeu dans un moteur thermique par l'intermédiaire d'un ensemble cylindre-piston, correspond au travail du piston contre la pression extérieure, p_{ext}~.

Soit F_{ext}~, la force exercée par le milieu extérieur sur le piston de surface S~.

Si le piston se déplace d'une petite longueur élémentaire dl~, le travail élémentaire effectué par celui-ci devient:

\delta W_{fp} =  F_{ext} dl \,

or F_{ext} =  p_{ext} S \,

d'où \delta W_{fp} = p_{ext} Sdl \,

On obtient ainsi:

\delta W_{fp} =  p_{ext} dV \,

dV \, est une variation infinitésimale de volume du système qui correspond sur un plan mathématique, à la différentielle du volume.

Pour respecter la règle des signes qui veut que le travail fourni par le système moteur au milieu extérieur soit négatif, dV~ étant positif (détente), il convient d'ajouter le signe moins.

\delta W_{fp} = - p_{ext} dV \,


Pour une transformation réelle définie par la trajectoire AB, le travail dépend de cette trajectoire et n'est donc pas indépendant du chemin suivi:

W_{AB}=\int_{\mathcal{AB}}-p_{ext}\cdot dV

Remarques

  • Si le piston travaille contre le vide, le travail est nul. Cela est évident si l'on prend l'exemple d'une plaquette de beurre dans laquelle on enfonce un couteau. Le travail fourni est moins important à température ambiante qu'à la température d'un réfrigérateur d'où le beurre vient d'être sorti et qui est donc plus dur.
  • Dans le cas d'une transformation isobare (p = Cte); cas rencontré fréquemment, d'un moteur travaillant contre la pression atmosphérique:
W_{AB}= - p_{ext}\int_{\mathcal{AB}}dV = - p_{ext}(V_B - V_A)
Dans ce cas le travail ne dépend plus du chemin suivi mais des états d'équilibre A et B.
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