Transformée de Laplace

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Définition

En mathématiques et en particulier en analyse fonctionnelle, la transformée de Laplace monolatérale d'une fonction f d'une variable réelle positive t est la fonction F de la variable complexe p, définie par:

$F(p) = \mathcal{L}\{f(t)\} =\int_0^{+\infty} e^{-pt} f(t)\,dt.$

Les propriétés de cette transformation lui confèrent une grande utilité dans l'analyse des systèmes dynamiques linéaires. La plus intéressante de ces propriétés est que l'intégration et la dérivation sont transformées en division et multiplication par p, de la même manière que le logarithme transforme la multiplication en addition. Elle permet ainsi de ramener la résolution des équations différentielles linéaires à coefficients constants à la résolution d'équations affines (dont les solutions sont des fonctions rationnelles de p) (voir Application de la transformation de Laplace aux équations différentielles).

La transformation de Laplace est très utilisée par les ingénieurs pour résoudre des équations différentielles et déterminer la fonction de transfert d'un système linéaire. Par exemple, en électronique, contrairement à la décomposition de Fourier qui est utilisée pour la détermination du spectre d'un signal périodique ou même quelconque, elle tient compte de l'existence d'un régime transitoire précédant le régime permanent (exemple : la prise en compte de l'allure du signal avant et après la mise en marche d'un générateur de fréquence).

Il suffit en effet de transposer l'équation différentielle dans le domaine de Laplace pour obtenir une équation beaucoup plus simple à manipuler.

Par exemple, lors de l'étude d'une machine à courant continu : $e(t)=R \cdot i(t)+L\, \frac{di(t)}{dt}\,$ dans le domaine temporel devient $E(p)=R \cdot I(p)+p \cdot L \cdot I(p)\,$ dans le domaine de Laplace. Attention, ceci n'est valable dans ce cas que si les conditions initiales du signal i(t) sont nulles.

On a utilisé ici des propriétés de la transformation de Laplace, explicitées ci-dessous.

Remarque : la notation "s" (variable de Laplace) est souvent utilisée dans les pays anglo-saxons alors que la notation "p" est utilisée notamment en France et en Allemagne. La transformation de Laplace est obligatoirement appliquée à des signaux dits causaux, c’est-à-dire nuls avant t=0. (Pour les signaux non causaux, des astuces de décalages existent).

On définit aussi la transformation de Laplace-Carson par^[1] :

$\phi(p)=p\int_0^{+\infty} e^{-pt} f(t)\,dt$ qui permet d'associer à toute fonction d'une variable $t\mapsto f(t)$ une fonction image $p\mapsto \phi(p)$

Cette transformée est utilisée de préférence par les ingénieurs car  :

• une constante a pour image la même constante ;
• les équations aux dimensions (et donc l'homogénéité) des expressions sont conservées par la transformation ;
• elle offre une plus grande facilité d'emploi en calcul matriciel et tensoriel.

Inversion

L'inversion de la transformation de Laplace s'effectue par le biais d'une intégrale dans le plan complexe. À l'aide du théorème des résidus, on démontre presque directement que, pour t positif,

$f(t) = \mathcal{L}^{-1} \{F(p)\} = \frac{1}{2 \pi i} \int_{ \gamma - i \cdot \infty}^{ \gamma + i \cdot \infty} e^{pt} F(p)\,dp,$

où γ est choisi de sorte que l'intégrale soit convergente, ce qui implique que γ soit supérieur à la partie réelle de toute singularité de F(p).

Pratiquement, dans les cas généraux, il suffit de rapprocher les formules dans l'univers de Laplace aux formules connues pour constituer une table de transformées inverses.

Propriétés

Linéarité

$\mathcal{L}\left\{a f + b g \right\} = a\, \mathcal{L}\left\{ f \right\} + b\, \mathcal{L}\left\{ g \right\}$

Dérivation

Soit à calculer :

$\mathcal{L}\{f'\} = \int_0^{\infty} e^{-pt} f'(t)\,dt\,.$

En intégrant par parties, on obtient :

$\mathcal{L}\{f'\} = \left[e^{-pt}f(t)\right]_0^\infty + p\int_0^{\infty} e^{-pt} f(t)\,dt\,,$

soit finalement (et de proche en proche ou par récurrence pour les dérivations successives) :

$\mathcal{L}\{f'\} = p \mathcal{L}\{f\} - f(0^+)$

$\mathcal{L}\{f''\} = p^2 \mathcal{L}\{f\} - p f(0^+) - f'(0^+)$

$\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\} = p^n \mathcal{L}\{f\} - p^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0)$

$\mathcal{L}\{ t f(t)\} = -F'(p)$

$\mathcal{L}\left\{\frac{f(t)}{t} \right\} = \int_p^\infty F(\sigma)\, d\sigma$

• La cinquième formule peut se démontrer de cette manière:

On part de la définition de $\mathcal\, F(\sigma)=\int_0^{\infty}e^{-pt}f(t)dt{\mid}_{p=\sigma} \,$

puis :$\mathcal\, \int_p^{\infty}F(\sigma)d{\sigma}=\int_0^{\infty}\int_p^{\infty}e^{-{\sigma}t}f(t)dtd{\sigma}\,$

$\mathcal\, \Rightarrow \int_p^{\infty}F({\sigma})d{\sigma}=\int_0^{\infty}f(t)dt \cdot \int_p^{\infty}e^{-{\sigma}t}d{\sigma} \,$

Soit, en évaluant l'intégrale

$\mathcal\, \int_p^{\infty}F(\sigma)d{\sigma}=\int_0^{\infty}f(t)dt \cdot \left(\frac{1}{t}e^{-pt}\right) \,$

qui est aussi la transformée de $\mathcal\, \frac{f(t)}{t} \,$ c'est-à-dire $\mathcal\, \mathcal{L}\left\{\frac{f(t)}{t}\right\} \,$

C’est-à-dire :$\mathcal{L}\left\{\frac{f(t)}{t} \right\} = \int_p^\infty F(\sigma)\, d\sigma$

Intégration

$\mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(\tau) d\tau \right\} = {1 \over p} \mathcal{L}\{f\}$

$\mathcal{L}\left\{ \int_a^t f(\tau) d\tau \right\} = {1 \over p} \mathcal{L}\{f\}+ {1 \over p}\int_a^0 f(\tau)d\tau$

Valeur finale

Si la limite dans le domaine temporel existe, alors :

$\lim_{t \to +\infty} f(t)=\lim_{p \to 0} pF(p)$

Valeur initiale

Si la limite dans le domaine temporel existe, alors :

$\lim_{t \to 0+} f(t)=\lim_{p \to +\infty} pF(p)$

Convolution

$\mathcal{L}\{f * g\} = \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \}$

Il faut faire attention aux ensembles respectifs sur lesquels sont définies les fonctions f et g. En effet, la convolution et la transformée de Laplace imposent des conditions qui doivent être compatibles. Le plus simple est de les prolonger sur $\mathbb{R}$ en les multipliant par la fonction indicatrice de leur ensemble de définition initial.

Transformée de Laplace d'une fonction de période T

$\mathcal{L}\{ f \} = {1 \over 1 - e^{-Tp}} \int_0^T e^{-pt} f(t)\,dt$

• On peut montrer la formule de la manière suivante :

$\mathcal\,\int_{0}^{\infty}e^{-pt}f(t)dt=\int_{0}^{T}e^{-pt}f(t)dt{\mid}_{t=u}+\int_{T}^{2T}e^{-pt}f(t)dt{\mid}_{t=u+T}\int_{2T}^{3T}e^{-pt}f(t)dt{\mid}_{t=u+2T}+...\,$

$\mathcal\,\int_{0}^{\infty}e^{-pt}f(t)dt=\int_{0}^{T}e^{-pu}f(u)du+\int_{0}^{T}e^{-p(u+T)}f(u+T)du+\int_{0}^{T}e^{-p(u+2T)}f(u+2T)du+...\,$

$\mathcal\,\int_{0}^{\infty}e^{-pt}f(t)dt=\int_{0}^{T}e^{-pu}f(u)du+e^{-pT}\int_{0}^{T}e^{-pu}f(u)du+e^{-2pT}\int_{0}^{T}e^{-pu}f(u)du+...\,$

On regroupe les termes :

$\mathcal\,\int_{0}^{\infty}e^{-pt}f(t)dt=(1+e^{-pT}+e^{-2pT}+...)\int_{0}^{T}e^{-pu}f(u)du{\mid}_{u=t} \,$

Alors,$\mathcal{L}\{ f \}={1 \over 1 - e^{-Tp}} \int_0^T e^{-pt} f(t)\,dt$

Quelques transformées usuelles

La transformée de Laplace n'est valide que pour des t supérieurs à $0^-\,$. C'est pour cette raison que les fonctions temporelles de cette table sont multiples de (ou composées avec) u(t), fonction échelon unité (Heaviside).

	Fonction	Domaine temporel $x(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ X(p) \right\}$	Transformée de Laplace $X(p) = \mathcal{L}\left\{ x(t) \right\}$	Région de convergence
1	délai idéal	$\delta(t-\tau) \$	$e^{-\tau p} \$
1a	impulsion unité	$\delta(t) \$	$1 \$	$\forall \ p \,$
2	retard à la n-ième puissance avec décalage fréquentiel	$\frac{(t-\tau)^n}{n!} e^{-\alpha (t-\tau)} \cdot u(t-\tau)$	$\frac{e^{-\tau p}}{(p+\alpha)^{n+1}}$	$\operatorname{Re} (p) > 0 \,$
2a	puissance n-ième	${ t^n \over n! } \cdot u(t)$	${ 1 \over p^{n+1} }$	$\operatorname{Re} (p) > 0 \,$
2a.1	puissance q-ième	${ t^q \over \Gamma(q+1) } \cdot u(t)$	${ 1 \over p^{q+1} }$	$\operatorname{Re} (p) > 0 \,$
2a.2	échelon unité	$u(t) \$	${ 1 \over p }$	$\operatorname{Re} (p) > 0 \,$
2b	échelon retardé	$u(t-\tau) \$	${ e^{-\tau p} \over p }$	$\operatorname{Re} (p) > 0 \,$
2c	rampe	$t \cdot u(t)\$	$\frac{1}{p^2}$	$\operatorname{Re} (p) > 0 \,$
2d	retard avec décalage fréquentiel	$\frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t)$	$\frac{1}{(p+\alpha)^{n+1}}$	$\operatorname{Re} (p) > - \alpha \,$
2d.1	décroissance exponentielle	$e^{-\alpha t} \cdot u(t) \$	${ 1 \over p+\alpha }$	$\operatorname{Re} (p) > - \alpha \$
3	approche exponentielle	$( 1-e^{-\alpha t}) \cdot u(t) \$	$\frac{\alpha}{p(p+\alpha)}$	$\operatorname{Re} (p) > 0\$
4	sinus	$\sin(\omega t) \cdot u(t) \$	${ \omega \over p^2 + \omega^2 }$	$\operatorname{Re} (p) > 0 \$
5	cosinus	$\cos(\omega t) \cdot u(t) \$	${ p \over p^2 + \omega^2 }$	$\operatorname{Re} (p) > 0 \$
6	sinus hyperbolique	$\sinh(\alpha t) \cdot u(t) \$	${ \alpha \over p^2 - \alpha^2 }$	$\operatorname{Re} (p) > | \alpha | \$
7	cosinus hyperbolique	$\cosh(\alpha t) \cdot u(t) \$	${ p \over p^2 - \alpha^2 }$	$\operatorname{Re} (p) > | \alpha | \$
8	décroissance exponentielle d'une onde sinusoidale	$e^{-\alpha t} \sin(\omega t) \cdot u(t) \$	${ \omega \over (p+\alpha )^2 + \omega^2 }$	$\operatorname{Re} (p) > -\alpha \$
9	décroissance exponentielle d'une onde cosinusoidale	$e^{-\alpha t} \cos(\omega t) \cdot u(t) \$	${ p+\alpha \over (p+\alpha )^2 + \omega^2 }$	$\operatorname{Re} (p) > -\alpha \$
10	n-ième racine	$\sqrt[n]{t} \cdot u(t)$	$p^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)$	$\operatorname{Re} (p) > 0 \,$
11	logarithme	$\ln \left ( { t \over t_0 } \right ) \cdot u(t)$	$- { t_0 \over p} \ [ \ \ln(t_0 p)+\gamma \ ]$	$\operatorname{Re} (p) > 0 \,$
12	fonction de Bessel du premier type, d'ordre n	$J_n( \omega t) \cdot u(t)$	$\frac{ \omega^n \left(p+\sqrt{p^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{p^2 + \omega^2}}$	$\operatorname{Re} (p) > 0 \,$ $(n > -1) \,$
13	fonction de Bessel modifiée du premier type, d'ordre n	$I_n(\omega t) \cdot u(t)$	$\frac{ \omega^n \left(p+\sqrt{p^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{p^2-\omega^2}}$	$\operatorname{Re} (p) > | \omega | \,$
14	fonction d'erreur	$\mathrm{erf}(t) \cdot u(t)$	${e^{p^2/4} \operatorname{erfc} \left(p/2\right) \over p}$	$\operatorname{Re} (p) > 0 \,$
Notes: $u(t) \,$ représente la fonction de Heaviside. $\delta(t) \,$ représente la fonction de Dirac. $\Gamma (z) \,$ est la fonction Gamma. $\gamma \,$ est la constante d'Euler-Mascheroni. $t \,$, est un nombre réel, il représente typiquement le temps, mais peut désigner n'importe quelle autre quantité. $p \,$ est un nombre complexe. $q \,$ est un nombre réel (q + 1 > 0). $\alpha \,$, $\beta \,$, $\tau \,$, et $\omega \,$ sont des nombres réels. $n \,$ est un entier.

Notes et références

1. ↑ Maurice Denis-Papin et Arnold Kaufmann, Cours de calcul opérationnel appliqué, Éditions Albin Michel, Paris, 1967

Voir aussi

Sur les autres projets Wikimedia :

• « Calcul opérationnel », sur Wikibooks (livres pédagogiques)

Lien interne

• Transformée en Z
• Calcul opérationnel
• Transformée bilatérale de Laplace
• Transformation de Mellin

Lien externe

• La transformée de Laplace appliquée au calcul des circuits électroniques