Transformation complexe

Méthode mathématiques permettant de dériver, d'intégrer ou d'appliquer facilement des opérations arithmétiques (+, -, x et /) à des grandeurs fonctions sinusoïdales du temps. Elle remplace avantageusement la représentation de Fresnel dans les situations complexes.

Principe

A une grandeur :$g(t) \,$, fonction sinusoïdale du temps d'expression :

$g(t) = \hat G . \sin (\omega t + \varphi ) \,$,

on fait correspondre un nombre complexe :$\underline G \,$

• de module : $G \,$
• d'argument : $\varphi \,$
• Notation exponentielle : $\underline G = \hat G \cdot e^{j(\omega t + \varphi)}\,$,
  • Remarque : il est fréquent que l'on abrège la notation exponentielle sous la forme :

$\underline G = \hat G \cdot e^{j(\varphi)}\,$,

Dans ce cas, il faut conserver en mémoire l'existence de ω pour les dérivations ou les intégrations

En électricité, pour les courants et les tensions, il est d'usage d'utiliser un nombre complexe dont le module est égal à la valeur efficace de la grandeur :

$G =\frac {\hat G}{\sqrt{2}} \,$

Opérations élémentaires

• Opérations arithmétiques : on se ramène à des opérations sur les nombres complexes, puis on applique la transformation inverse pour obtenir la grandeur sinusoïdale qui correspond au résultat de l'opération.

• Dérivation

On dérive le nombre complexe image :

$\underline G = \hat G \cdot e^{j(\omega t + \varphi)}\,$,

on obtient :

$\omega \cdot \hat G \cdot e^{j(\omega t + \varphi + \frac{\pi}{2})} \,$ ou encore $j \omega \cdot \hat G \cdot e^{j(\omega t + \varphi)} \,$

• Intégration

On intégre le nombre complexe image et on obtient :

$\frac{1}{\omega} \cdot \hat G \cdot e^{j(\omega t + \varphi - \frac{\pi}{2})} \,$, ou encore $\frac{1}{j\omega} \cdot \hat G \cdot e^{j(\omega t + \varphi)} \,$

Représentation complexe des courants et tensions (généralisable)

Dans un circuit en régime permanent sinusoidal composé de composants linéaires, un courant ou une tension est une fonction g(t) du type:

$g(t) = \hat G . \sin (\omega t + \varphi ) \,$,

On note $\underline g$ un nombre complexe associé à g(t) égal à:

$\underline g = \hat G . e^{j \varphi} . e^{j \omega t}$

• $| \underline g |$ est égal à la valeur efficace de g
• $arg( \underline g )$ est égale à la phase totale de g (incluant le ωt )

$\hat G . e^{j \varphi}$ est appelée amplitude complexe^[1] de s car elle caractérise le signal tandis que le terme e^jωt est commun à tous les signaux du circuit. On remarque que $s(t) = Im ( \underline g )$ dans le cas d'une fonction en sinus sinon $s (t) = Re ( \underline g )$ dans le cas d'une fonction en cosinus. $\underline g$ est donc l'élément mathématique qui porte les informations de phase et d'amplitude de s(t). Ce sont donc les amplitudes complexes qui sont recherchées pour décrire un circuit en régime sinusoidal. La notation sous forme exponentielle permet d'éviter l'utilisation de formules trigonométriques et elle est à mettre en liens avec l'Impédance (électricité) complexe.

1. ↑ http://www.brouchier.com/Amplitude_Complexe